Алексей Урманов родился 17 ноября 1973 года в городе Санкт-Петербург. Заниматься фигурным катанием начал в 4 года. С 1977 года, в течение двух лет, тренировался под руководством Нины Монаховой, затем Натальи Голубевой. В сезоне 1989/1990 годов его тренером стал Алексей Мишин. С ним Алексей завоевал титул Вице-чемпиона на юниорском Чемпионате Мира в США.

На Чемпионате СССР в городе Минск в декабре 1990 года фигурист занял третье место, впервые в истории абсолютно безошибочно исполнив четверной прыжок, тулуп, и вошел в состав сборной СССР, Содружества Независимых Государств, затем России по фигурному катанию.

В 1991 году Урманов дебютировал на Чемпионате Европы, вновь исполнив чисто прыжок в четыре оборота, повторил его и на Чемпионате Мира в том же году. В декабре стал последним Чемпионом СССР по фигурному катанию в Украинском городе Киев.

Фигурист завоевал бронзу Чемпионата Мира 1993 года, неоднократно становился призером Чемпионатов Европы по фигурному катанию на коньках. Олимпийский Чемпион в мужском одиночном катании 1994 года, выиграл и техническую и произвольную программу благодаря чистому исполнению всех элементов.

Диплом о высшем образовании получил, окончив Санкт-Петербургскую государственную академию физической культуры имени П.Ф. Лесгафта по программе «Тренер-преподаватель».

В августе 1999 года Алексей завершил любительскую карьеру, победив в декабре того же года на Чемпионате Мира среди профессионалов-одиночников в городе Вашингтон, США.

Тренером в спортивной детско-юношеской школе Олимпийского резерва при Дворце спорта «Юбилейный» и Академии фигурного катания работал с 2001 по 2015 года. Его самым успешным учеником стал двукратный Чемпион России, Сергей Воронов.

В 2015 году Алексей Урманов переехал в город Сочи Краснодарского края и начал работу в Центре фигурного катания Татьяны Волосожар и Максима Транькова в Олимпийском парке в качестве старшего тренера. В ноябре его новой подопечной на льду стала Олимпийская Чемпионка Юлия Липницкая.

Состоит в экспертном совете Всероссийского образовательного центра для одаренных детей «Сириус» в городе Сочи, Краснодарский край. Также является техническим специалистом Международного союза конькобежцев.

За заслуги в спортивной деятельности Алексей Евгеньевич удостоен Почетных званий «Заслуженный мастер спорта» и «Заслуженный тренер России». Кавалер ордена «За личное мужество». Награжден Почетным знаком Федерации фигурного катания на коньках РФ.