Алексей Ведев родился 15 апреля 1960 года в городе Москва. После школы в 1983 году окончил факультет кибернетики Московского инженерно-физического института и аспирантуру Центрального экономико-математического института Российской Академии Наук. С 1985 года на протяжении двадцати одного года являлся старшим научным сотрудником ЦЭМИ.
В 1991 году Ведев прошел курс Гарвардского университета «Использование моделей равновесия в экономике». Также проходил обучение в Международном институте прикладного системного анализа: IIASA в Австрии. В 1992 году в ЦЭМИ РАН защитил диссертацию на степень кандидата экономических наук по теме «Сравнительный анализ сценариев перехода советской экономики к рынку на основе компьютерного моделирования».
Параллельно Алексей Леонидович выступал главным редактором журналов «Экономическое развитие России» и «Обозрение «Финансовые рынки». В течении двадцати лет являлся генеральным директором Аналитической лаборатории «Веди». В 1996 году стал приглашенным профессором японского Университета Хитоцубаси в Токио.
Далее с 1996 года Ведев занял должность начальника информационно-аналитического управления, управления продаж и клиентского обслуживания группы финансовых рынков, главный экономист ДиалогБанка в Москве. В 2002 работал консультантом московского банка «Инвестиционно-банковская группа НИКойл» и до 2005 года являлся эксперт московского Фонда «Бюро экономического анализа».
В этот же период возглавлял Фонд экономических исследований «Центр развития». До 2007 года выступал экспертом компании Global Source Partners в Нью-Йорке. В 2007 году Алексей Ведев назначен директором Центра стратегических исследований Банка Москвы. В 2011 году стал директором по финансовым исследованиям Фонда «Центр стратегических разработок». Параллельно являлся директором Центра структурных исследований Института экономической политики имени Егора Гайдара.
В середине августа 2014 года Алексей Леонидович назначен заместителем министра экономического развития России. Курировал макроэкономическое прогнозирование. В разные годы выступал руководителем научных проектов по заказам Центробанка, Минэкономразвития, министерства финансов, министерства по налогам и сборам России, Всемирного банка, японских внешнеторговых организаций, различных проектов Агентства США по международному развитию, частных российских и зарубежных компаний, экспертных организаций.
В 2017 Алексей Леонидович Ведев неожиданно покидает министерство и уходит в научную деятельность став ведущим научным сотрудником лаборатории финансовых исследований Института экономической политики имени Егора Гайдара. В этот же период занял кресло заведующего Лабораторией структурных исследований Института Прикладных Экономических Исследований при Российской Академии Народного Хозяйства и Государственной Службы при Президенте Российской Федерации.
2018 - Благодарность Президента Российской Федерации «За большой вклад в работу по подготовке Стратегии развития Российской Федерации на 2018-2024 гг.» (Распоряжение Президента Российской Федерации от 28.08.18 №234-рп).