Михаил Вековищев родился 5 августа 1998 года в городе Обнинск, Калужская область. Плаванием, мальчик начал заниматься с детства. Принимал участие в различных детских и юношеских турнирах, первенствах и чемпионатах. Первым тренером юного спортсмена, являлся Сергей Загацкий. В возрасте шестнадцати лет удостоен спортивного звания «Мастер спорта России».
В 2015 году, пловец участвовал в Европейских играх. Выступал на дистанциях 50, 100 и 200 метров баттерфляем, но не попал в финальные заплывы. Затем, в июле 2016 года, на чемпионате Европы среди юниоров, Михаил завоевал два золота: в микст-эстафете 4х100 метров вольным стилем и мужской эстафете 4х100 метров вольным стилем, а также два серебра: в эстафете 4х200 метров вольным стилем и комбинированной эстафете 4х100 м.
На Чемпионате Мира по плаванию на короткой воде, проходившем в канадском городе Уинсор в декабре 2016 года, спортсмен дважды поднимался на высшую ступень пьедестала, в эстафете вольным стилем на дистанциях 100 и 200 метров.
Приказом Министра спорта России Павла Колобкова № 95 нг от 25 июля 2017 года Михаилу Дмитриевичу Вековищеву присвоено почетное спортивное звание «Заслуженный мастер спорта».
Так же, является Чемпионом и серебреным призером первенства Европы по плаванию на короткой воде 2017 года. В составе сборной Российской Федерации Михаил Вековищев завоевал две серебряные медали на Чемпионате Европы 2018 года.
В первый день чемпионата Европы на короткой воде в шотландском городе Глазго 4 декабря 2019 года спортсмены сборной России в составе Климент Колесников, Владислав Гринев, Михаил Вековищев и Владимир Морозов завоевали золотую медаль в эстафете 4х50 м вольным стилем, с результатом 1 минута 22,92 секунды. Вторыми стали польские ловцы, показавшие время 1.23,74. Бронзовые награды выиграли спортсмены из Италии, прошедшие дистанцию за 1.24,50 сек.
На чемпионате Европы в плавании на короткой воде 5 декабря 2019 года Михаил Вековищев завевал две медали. На стометровке баттерфляем российский пловец стал вторым, проплыв дистанцию за 49,53 секунд, уступив немцу Мариусу Кушу 47 сотых. На дистанции 200 м вольным стилем Михаил взял бронзу, с результатом 1.41,52 сек.
Спортивные Достижения Михаила Вековищева
Серебряный призер чемпионата мира (2017 - эстафета 4х200 м в/с, 2019 - эстафета 4х200 м в/с).
Чемпион мира на короткой воде (2016 - эстафета 4х100 м в/с, эстафета 4х200 м в/с).
Серебряный призер чемпионата мира на короткой воде (2018 - эстафета 4х100 м в/с).
Чемпион Европы на короткой воде (2017 - эстафета 4х50 м в/с, эстафета 4х50 м комб; 2019 - эстафета 4х50 м в/с,.
Серебряный призер чемпионата Европы на короткой воде (2017 - смешанная эстафета 4х50 м в/с, 2018 - смешанная эстафета 4х200 в/с; 2019 - 100 м бат).
Бронзовый призер чемпионата Европы на короткой воде (2019 - 200м в/с).
Чемпион России на короткой воде (2017 - 100 м, эстафета 4х50 м в/с, эстафета 4х50 м комб).
Серебряный (2017 - эстафета 4х100 м комб) и бронзовый (2016 - 100 м, эстафета 4х200 м в/с; 2016, 2017 - 200 м) призер чемпионатов России на короткой воде.