Анатолий Веськин родился 26 июня 1956 года в селе Федоровка, Республика Башкортостан. Успешно завершил курс обучения в Московском Государственном Университете Технологий и Управления. Трудовую деятельность начал в 1974 году, с должности машиниста насосов на нефтеперерабатывающем заводе в городе Салават.
В период с 1977 по 1981 год, Веськин работал председателем ДСО «Урожай».
С 1981 года, являлся бригадиром СУ-3 треста «Белорецкметаллургстрой».
Начиная с 1991 года, последовательно замещал должности мастера, старшего мастера, начальника участка, заместителя начальника цеха по ремонту оборудования Открытого Акционерного Общества «Мелеузовские минеральные удобрения».
Затем, в 2004 году, перешел на работу в качестве мастера производственного обучения. Далее, в 2017 году, назначен преподавателем ГБПОУ «Мелеузовский индустриальный колледж».
Параллельно с трудовой и педагогической деятельностью, Веськин Анатолий Иванович принимает активное участие в политической жизни родного региона. На выборах 9 сентября 2018 года, избран депутатом Государственного Собрания - Курултая Республики Башкортостан по единому республиканскому избирательному округу от Политической партии «КПРФ». Входит в состав фракции вышеуказанного политического объединения.
Женат. Имеет дочь и сына.