Дмитрий Вишневский родился 3 января 1990 года в поселке Богатищево, Московская область. Является воспитанником московской Детско-Юношеской Спортивной Школы «Русь». В 2007 году приглашен во второй состав московского хоккейного клуба «Спартак». С сезона КХЛ 2008/2009 года, стабильно выступал за хоккейный клуб «Спартак», в котором отыграл 19 матчей.

После обязательной диспансеризации, которой подверглись все хоккеисты КХЛ, после трагического случая с Алексеем Черепановым, 19 летнему Вишневскому рекомендовали закончить карьеру из-за проблем с сердечнососудистой системой. До лета 2009 года, хоккеист проходил вынужденное медицинское обследование. По заключению медицинской экспертизы Дмитрий возвращается в большой хоккей. Медицинское обследование, которое прошел 19-летний игрок, на этот раз, не выявило отклонений в его здоровье, однако ему было рекомендовано не вылетать с командой, на выездные игры.

Перед началом сезона 2009/2010 года, Дмитрий вновь попал в неприятную ситуацию, связанную уже с допинг-пробой. При обследовании в пробах хоккеиста был выявлен гидрохлортиазид - относящейся к классу диуретиков и запрещенный для применения в спорте. Этот случай разбирался дисциплинарным комитетом КХЛ. В итоге, спортсмен все же продолжил профессиональную карьеру и стабильно выступал за клуб красно-белых.

После досрочного окончания выступления «Спартака» в Плей-офф КХЛ 2011 года, Дмитрия Вишневского, а также еще несколько его одноклубников командировали в фарм-клуб ВХЛ - московские «Крылья Советов», выступающие в Сетуни, для повышения игровой практики и участия в Плей-офф ВХЛ 2011 года.

В сезоне 2011/2012 года, в декабре месяце, Вишневский обменян на Илью Антоновского в столичный хоккейный клуб КХЛ «Динамо». В составе «Динамо», завоевал два Кубка Гагарина подряд, в сезоне 2011/2012 года и в сезоне 2012/2013 годов. На начало сезона 2017/2018 года, является защитником хоккейного клуба КХЛ «Динамо» Москва.