Алексей Вольчук родился 11 августа 1976 года в городе Воткинск, Удмуртская Республика. В 1998 году кончил факультет физкультуры и спорта Удмуртского государственного университета.
В начале карьеры занимался лыжными гонками, выступал за спортивное общество «Динамо» и город Ижевск. Первым тренером был отец - Владимир Алексеевич Вольчук, также тренировался у Александра Андреевича Бабкина в Ижевске. Становился победителем всероссийской Универсиады по лыжным гонкам, выполнил норматив мастера спорта.
В возрасте 26 лет перешел в биатлон, тренировался в Ижевске у Наиля Галинуровича Хазеева. Выступал за Республику Удмуртию. В последние годы своей карьеры представлял Мордовию.
В 2004 году стал победителем индивидуальной гонки на соревнованиях «Ижевская винтовка». Становился чемпионом России в 2005 году в эстафете, в 2009 году в спринте, в 2010 году в командной гонке. Неоднократно был призером чемпионата страны. Также становился призером чемпионатов России в летнем биатлоне.
Завершил спортивную карьеру в 2010 году. По окончании карьеры работал тренером в Ижевске и в «Академии биатлона».