Аркадий Вятчанин родился 4 апреля 1984 года в городе Воркута, Республика Коми. Рос в спортивной семье. Его старшая сестра Алла - мастер спорта СССР и России по плаванию, неоднократно становилась чемпионкой страны. Именно она была первым тренером маленького Аркадия, во время первых занятий в Дворце спорта «Цементник».
Потом Аркадий начал тренироваться под руководством своих родителей: отца, Аркадия Федоровича, девятикратного чемпиона РСФСР по плаванию и матери, Ирины Германовны, заслуженного тренера России. Под ее руководством он достиг значимых спортивных успехов: двукратный бронзовый призер ОИ-2008 в Пекине, призер чемпионатов мира 2003, 2005, 2007 годов, 7-кратный чемпион Европы, призер ЧЕ 2004, 2005, многократный чемпион России, 3-кратный рекордсмен мира на дистанциях 200 м на спине на короткой воде и 100 м, 12-кратный рекордсмен Европы, 21-кратный рекордсмен России.
С декабря 2009 по конец февраля 2010 Аркадий перенес четыре операции на глазах, из-за чего ему пришлось на продолжительное время прекратить тренировки и выступления. Тренировки возобновил за 1,5 месяца до старта чемпионата России 2010 года, на котором выступил не очень удачно.
В 2013 году 21 апреля на финале Кубка России в Казани заявил о решении завершить выступление за сборную России, сменить спортивное гражданство и выступать за Сербию.
Сербское гражданство было получено спортсменом в мае 2015 года, однако Международная федерация плавания запретила пловцу выступать за Сербию, поскольку были нарушены правила перехода из одной сборной в другую. Летом 2017 года Вятчанин получил гражданство США.