Александр Ясинский родился 20 декабря 1959 года в городе Армавир, Краснодарский край. Окончил Высшее учебное заведение по технической специальности. Позднее, получил дополнительное образование, успешно завершив курс обучения по специальности «юриспруденция», с присвоением квалификации «юрист».
К службе в органах внутренних дел, Ясинсъкий приступил в 1989 году, в качестве оперуполномоченного уголовного розыска МВД СССР по городу Армавир.
Впоследствии, прошел служебный путь до начальника Управления по координации сил и средств Министерства Внутренних Дел России Главного Управления МВД Российской Федерации по Северо-Кавказскому Федеральному округу.
Начиная с 2009 года, проходил службу в Чеченской Республике.
С 2016 года, офицер исполнял обязанности по должности начальника Управления Росгвардии Российской Федерации по Челябинской области.
Указом Президента Российской Федерации от 5 июля 2017 года, полковник полиции Ясинский Александр Юрьевич утвержден в должности начальника Управления Федеральной службы войск национальной гвардии Российской Федерации по Челябинской области.
Позже, 12 декабря 2017 года, Александру Юрьевичу Ясинскому присвоено очередное звание «генерал-майор полиции». Отмечен государственными наградами и знаками отличия.