Андрей Зайцев родился 17 сентября 1975 года в городе Москва. После школы поступил в Московский Государственный Университет. Окончил его в 1997 году дипломированным журналистом, а через два года он прошел высшие курсы сценаристов и режиссеров.
Андрей работал корреспондентом и режиссером в телекомпании РТР, затем сотрудником киностудии «ТРИТЭ» Никиты Михалкова.
В 2002 году документальный фильм «Глеб» Андрея Зайцева получил главный приз фестиваля «Окно в Европу» по разделу неигрового кино, cпециальный приз жюри.
В 2005 году Андрей открыл собственную студию под названием «Сентябрь», и через год представил совместную работу с фестивалем действительного кино «Кинотеатр.doc» - короткометражный игровой фильм «Плакат».
В 2007 году режиссер получил премию «Золотой орел» за монтаж нашумевшей картины Никиты Михалкова «12», а за документальную ленту «Виктор Астафьев. Веселый солдат» он получил приз имени правозащитника Феликса Светова от Жюри Общественных Организаций.
На кинофестивале «Окно в Европу» в 2011 году Андрей Зайцев получил премию Гильдии киноведов и кинокритиков России за свой дебютный художественный фильм «Бездельники».
В 2012 году вышли «Мост над бездной» и мини-сериал «Моя Великая война. Воспоминания ветеранов». Фильм «Моя великая война» стал лауреатом премии «Лавровая ветвь» в номинации лучший документальный сериал, цикл документальных программ 2012 года.
В этом же году документалист Андрей Зайцев получил диплом за правдивое свидетельство о Второй мировой войне в конкурсе полнометражных документальных фильмов на XXI МКФ духовно-нравственного кино «Золотой Витязь» в Омске за фильм «Виктор Астафьев. Веселый солдат».
В 2015 году на Берлинском кинофестивале Россию представлял новый фильм Андрея Зайцева под названием «14+». Он был в номинации: Хрустальный медведь - лучший художественный фильм конкурса для юношества Поколение.
На Московском международном кинофестивале в 2017 году Андрей Зайцев получил второй приз мэра Москвы за лучший фильм о столице «14+».