Юрий Завельский родился 15 июня 1927 года в городе Харьков, Украина. В 1933 году в возрасте 6 лет пошел в школу. Во время Великой Отечественной войны работал на оборонном заводе в Москве, экстерном сдал экзамены за три последних класса средней школы. Окончил географический факультет Московского государственного университета.
С детства увлекался искусством, в особенности театром. Педагогическую деятельность начал в школе села Большая Даниловка Харьковской области, где проработал в течение пяти лет, занимал должность завуча. С 1955 - преподаватель средней школы № 37 Фрунзенского района Москвы, затем преподавал в московских средних школах № 589 и № 194.
Был заведующим методическим кабинетом, завучем, заведующим РОНО, откуда ушёл директором в школу, так как не испытывал склонности к административной работе вне школы. Считает, что работа директора школы требует «эрудиции Аскадии, красоты Афродиты, выносливости Геракла, бескорыстия святой Клары и финансового гения Генри Форда».
В 1975 стал директором только что открытой школы № 43, в настоящее время она - Московская гимназия на Юго-Западе № 1543. Преподавал в ней географию и астрономию. Школа официально получила статус гимназии в марте 1994 года. Остаётся директором гимназии до настоящего времени.
Совместно с рядом других московских педагогов награждён премией Президента Российской Федерации в области образования за 1999 за создание практической модели региональной системы разработки и издания учебно-методических средств для обеспечения функционирования и развития образования в Москве.