Анатолий Живов родился 8 марта 1925 года в деревне Кузьмищево, Калужская область. С 1931 года жил в Москве. Окончил пять классов. В 1940 году поступил на завод «Трехгорная мануфактура» учеником слесаря. Осенью 1941 года во время обороны Москвы после работы дежурил на крышах московских домов, туша зажигательные бомбы и очаги пожаров.
Летом 1942 года Живов вместе с рабочими приехал на строительство Жездинского марганцевого рудника. В мае 1943 года добровольцем ушел на фронт. Своей смелостью Анатолий быстро завоевал признание товарищей. В бою за Тернополь 4 апреля 1944 года с катушкой на спине прокладывал телефонную линию. Батальон наступал. Из амбразур в массивной стене, окружавшей городскую тюрьму, почти в упор ударили пулеметные очереди. Парень подполз к амбразуре и бросил в нее 2 бутылки горючей смеси. Пулемет смолк, но вскоре заработал снова. И тогда уже дважды раненный телефонист, собрав последние силы, бросился к амбразуре и закрыл ее своим телом.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года Живову Анатолию Павловичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
В «Старом парке» Тернополя ему воздвигнут памятник
Одна из улиц Тернополя названа его именем
Мемориальная доска на здании фабрики «Трехгорная мануфактура»
Мемориальная доска Тернополе на месте совершения подвига
Снят документальный фильм «Парень с «Трехгорки»
Зачислен в списки коллектива Тернопольского хлебокомбината.