Александр Зуев родился 26 июня 1996 года в городе Костанай, Казахстан. Заниматься футболом начал в секции клуба «Тобол», Костанай. Первым тренером игрока стал Рафик Оганесович Балбабян. В 2005 году семья Зуевых переехала из Казахстана в Россию, в город Челябинск, где Александр стал тренироваться в местной футбольной школе «Академия».

В 2008 году Зуев ярко проявил себя на региональном турнире Детской Футбольной Лиги и ему поступило предложение от московской футбольной школы «Чертаново». С 2009 года Зуев стал заниматься в «Чертаново» под руководством тренера Михаила Сергеевича Буренкова.

В сентябре 2011 года в составе сборной Москвы, сформированной на базе команды «Чертаново», впервые стал победителем Первенства России среди межрегиональных объединений, проводившемся в Крымске, и получил звание «Кандидат в мастера спорта РФ» по футболу. Был признан организаторами лучшим полузащитником Первенства. В финале сборная Москвы победила сборную Приволжья со счётом 3:2.

В юношеской сборной России 1996 года рождения дебютировал 23 апреля 2011 года в первом туре XIII турнира Мемориал Франко Галлини в Италии. Сборная России уступила местному клубу «Портогруаро» - 0:1. В 2012 году принимал участие в международном турнире «Монтегю», где сыграл четыре матча и забил один гол. В том же году участвовал в Мемориале имени Виктора Банникова, где так же в четырёх матчах забил один мяч. На Мемориале сборная заняла второе место, в финале в серии пенальти уступив сборной Украины.

В мае 2012 года стал с «Чертаново» чемпионом России по футболу среди команд спортивных школ и клубов. Был признан лучшим игроком чемпионата. В ноябре в составе сборной Москвы, за которую выступали воспитанники столичных школ «Чертаново» и «Локомотив-2», стал победителем Первенства России среди межрегиональных объединений, проводившемся в Крымске. Стал лучшим бомбардиром соревнований.

     Его дебют в официальных матчах УЕФА 25 сентября 2012 года состоялся в отборочном турнире к юношескому чемпионату Европы 2013 в игре со сверстниками из Чехии, завершившихся разгромом российской сборной 3:0.

На Чемпионате Европы 2013 в финале отыграл 49 минут и был заменён Алексеем Гасилиным. В итоге его национальная команда стала чемпионом Европы в возрастной категории до 17 лет. Зуев, как и его партнёры по сборной, получил за эту победу звание «Мастер спорта РФ.

В апреле 2013 года в составе команды «Чертаново» стал победителем престижного футбольного турнира «Монтегю» для клубных команд. В начале сентября подписал контракт с московским «Спартаком» и 16 сентября был заявлен за клуб для участия в чемпионате России. 19 октября 2014 года в матче против «Урала» дебютировал в РФПЛ, выйдя на замену.

Сезон 2014-2015 провёл в составе «Спартака-2», выступавшего в Профессиональной футбольной лиге (второй дивизион), где занимал «родную» позицию на левом краю полузащиты. В рамках Российской футбольной премьер-лиги того сезона попал в заявку «Спартака» на 7 матчей, в 2 из которых вышел на замену не отличившись результативными действиями. Также провел 1 матч в розыгрыше Кубка России, где появился в стартовом составе и «записал на свой счет» голевую передачу.

Сезон 2015-2016 также начал в составе «Спартака-2», который выступал уже в Футбольной национальной лиге. В домашнем матче с Саратовским «Соколом» 24 марта 2016 года оформил хет-трик всего за 24 минуты. В осенней части сезона также нередко привлекался к играм основной команды «Спартака».

Серебряный призёр Юниорского чемпионата Европы (до 19 лет) 2015 года в составе сборной. 

С января 2016 года привлечен Дмитрием Аленичевым к тренировкам с основой «Спартака» и попадает в заявку команды на все матчи весенней части Российской футбольной премьер-лиги. Таким образом, зиму и весну 2016 года Александр проводит выступая сразу за 2 команды в структуре «Спартака».

В молодёжной сборной России дебютировал 24 марта 2016 года в матче со сборной Азербайджана в рамках отборочного турнира к молодёжному чемпионату Европы 2017 года.

Александр 23 июня 2017 года на правах аренды перешёл в футбольный клуб «Ростов». Первый гол в премьер-лиге и за ростовчан забил 30 июля в выездном матче против «Амкара». 27 мая 2018 перешёл в «Ростов» на постоянной основе.