Ефим Звеняцкий родился 25 октября 1947 года в селе Амурзет Еврейской автономной области. Отец, Самуил Григорьевич, работал трактористом, мать, Фаина Ароновна, - воспитательницей детского сада, затем билетером Дома культуры.
В 1969 году закончил во Владивостоке театральный факультет Дальневосточного педагогического института искусств по специальности «актер драматического театра и кино» и был принят в труппу Приморского краевого драматического театра имени М.Горького. В 1979 году окончил Высшие режиссерские курсы при ГИТИСе по специальности «режиссер-постановщик» под руководством Народного артиста РСФСР Н.И.Басина.
После курсов свою режиссерскую карьеру начал в драматическом театре Комсомольска-на-Амуре. В 1984 году становится главным режиссером Приморского краевого драматического театра имени М.Горького, сменив на этом посту Народного артиста РСФСР Е.Д.Табачникова.
Ефим Самуилович Звеняцкий является доцентом Дальневосточной государственной академии искусств, председателем Приморского фонда культуры, членом Союза театральных деятелей.
Для режиссера характерно обилие массовых сцен, декораций, выдержанных в абстракционистском стиле. Звеняцкий первым во Владивостоке ввел в репертуар академического театра мюзиклы, кроме того, в репертуаре театра с 1990 годов неизменно ночная музыкально-развлекательная программа «Шоу Ефима Звеняцкого». Под руководством Звеняцкого театр впервые осуществил гастрольные поездки за рубеж СССР.
В 1998 году силами владивостокской оперной студии «Классическая опера» осуществил постановку оперы «Риголетто» Дж. Верди, при этом в массовых сценах, помимо хора и миманса, были задействованы актеры драматического театра. После открытия в 2013 году во Владивостоке Приморского театра оперы и балета является также режиссером-постановщиком оперных спектаклей.
На протяжении ряда лет является депутатом Законодательного собрания Приморского края, генеральным директором Международного кинофестиваля «Меридианы Тихого».
Дочь Е.Звеняцкого - Инна Звеняцкая - солистка музыкального театра «Геликон-опера» под руководством Дмитрия Бертмана, солистка Центра оперного пения Галины Вишневской, Москва. Исполняла также ряд партий в Приморском театре оперы и балета как приглашенная актриса.