Дмитрий Андрейкин родился 5 февраля 1990 года в городе Рязань. Шахматами заинтересовался в раннем детстве. Тренировался у Виктора Александрович Пожарский. Принимал участие в различных соревнованиях, где занимал призовые места. В 2001 году стал Чемпионом России среди юношей до 14 лет. В 2007 году получил звание гроссмейстер. Учился в Саратовском социально-экономическом институте.
В июле 2008 года Андрейкин набрав победил на турнире «The 4-th Inautomarket Open», который проходил в Минске. В 2009 году стал Чемпионом России среди юниоров до 20 лет. На следующий год повторил свой успех. В 2010 году выиграл чемпионат мира среди юниоров. На турнире «Баку опен» в 2011 году занял второе место и впервые преодолел отметку рейтинга в 2700 очков. Позднее на кубке мира ФИДЕ уступил во 2 раунде соотечественнику Евгению Томашевскому.
В 2012 году Дмитрий Андрейкин стал чемпионом России, набрав 5 очков из 9 возможных в основном турнире, а также 4 очка из 5 возможных на тай-брейке. В июне 2013 года, не проиграв ни одной партии и победив Владимира Крамника, разделил 3-5 места на турнире ХХІІ категории «Мемориал Таля», который проходил в Москве. Затем разделил 5-8 места на 40-м международном турнире XIX категории в Дортмунде. Позднее вышел в финал кубка мира ФИДЕ, где уступил соотечественнику Владимиру Крамнику.
На командном чемпионате Европы, который проходил в Варшаве, Андрейкин показал пятый результат на третьей доске и помог сборной России занять третье место. В марте 2014 года занял четвертое место на турнире претендентов, который проходил в Ханты-Мансийске. Позднее стал победителем второго этапа Гран-при ФИДЕ 2014/2015. В феврале 2015 года занял последнее 12 место на третьем этапе серии Гран-при ФИДЕ. На турнире «Мемориал Капабланки» разделил 2-3 места.
Впоследствии Дмитрий Владимирович дошел до 1/8 финала кубка мира ФИДЕ. На чемпионате мира по быстрым шахматам занял 47 место, а по блицу - 21 место. В 2016 году стал победителем Хассельбакен опен, Абу-Даби мастерс и чемпионата Европы по блицу в Таллине. В 2018 году выиграл Суперфинал чемпионата России.
В марте 2019 года Дмитрий Владимирович Андрейкин в составе мужской сборной России по шахматам выиграл командный Чемпионат мира, который проходил в Казахстане.