Артем Анисимов родился 24 мая 1988 года в городе Ярославль. Воспитанник хоккейной школы ярославского «Локомотива». Полупрофессиональный дебют состоялся в юношеском фарм-клубе «Локомотив-2» в сезоне 2004/2005. В 2005-2007 годах играл в основном составе «Локомотива».
В составе молодежной сборной России завоевал серебряную и бронзовую медали молодежных чемпионатов мира. Кроме того, участвовал в Суперсерии 2007 против молодежной сборной Канады.
В 2007 году 2 августа Анисимов подписал свой первый контракт с «Нью-Йорк Рейнджерс» и отправился играть в АХЛ в их фарм-клуб «Хартфорд Вулф Пэк». 23 января 2009 года было объявлено, что Анисимов был выбран для участия в АХЛ-овском All-Star Classic в Вустере, штат Массачусетс. Он забил один гол и помог в двух других в игре PlanetUSA против канадской All-Stars.
За «Нью-Йорк Рейнджерс» в сезоне 2008/2009 Анисимов сыграл два матча: один в регулярном чемпионате, другой в плей-офф в последнем матче команды в Кубке Стэнли.
Сезоны 2009/2010, 2010/2011, 2011/2012 провел в основном составе команды «Нью-Йорк Рейнджерс». Летом 2012 года перешел в «Коламбус Блю Джекетс», став частью сделки по обмену Рика Нэша в «Нью-Йорк Рейнджерс».
Во время локаута в НХЛ выступал за родной «Локомотив». В 2013 году 26 июня подписал трехлетний контракт с «Коламбус Блю Джекетс» на общую сумму $ 9,85 млн.
Летом 2015 года перешел в «Чикаго Блэкхокс» в результате обмена. Российский форвард заключил контракт на пять лет с зарплатой $ 4,55 млн. в год. В первый сезон в «Чикаго» набрал 42 очка в 77 матчах, по большей части играя в одном звене с Артемием Панариным и Патриком Кейном. В плей-офф «ястребы» уступили в первом раунде «Сент-Луис Блюз».
В сезоне 2016/17 набрал первый результативный балл в третьей встрече против «Нэшвилл Предаторз», поучаствовав в победном голе Рихарда Паника. В этом матче началась результативная серия Артема, составившая 11 матчей, в которых он набрал 17 очков. Серия закончилась в поединке с «Сент-Луисом», в котором Анисимов получил травму верхней части тела.
Женат. Есть дочь Адриана и сын Артемий.