Михаил Астапов родился 28 октября 1959 года в городе Тихорецк, Краснодарский край. В детстве хотел стать авиаконструктором, а в юности Михаила больше увлекала экономика. В 1977 году устроился работать на Тихорецкий завод химического машиностроения «Красный Молот».
В 1983 году окончил Кубанский государственный университет, получив специальность географа. После университета в течение трех лет Михаил Борисович преподавал на кафедре экономической и социальной географии КубГУ.
С 1986 по 1987 год Михаил Борисович работал учителем географии, совмещая с должностью заместителя директора по учебно-воспитательной работе краснодарской школы № 61. С 1987 года занимал должность инспектора отдела образования Советского райисполкома Краснодара.
С 1989 года Астапов работает в департаменте образования и науки Краснодарского края, где прошел путь от специалиста до руководителя.
В 1999 году получил почетное звание Заслуженный учитель Кубани.
Начиная с 17 апреля 2013 года Михаил Борисович Астапов занимает должность ректора Кубанского государственного университета. Является заместителем председателя Совета ректоров вузов Краснодарского края и Республики Адыгея.
Михаил Астапов имеет ученую степень кандидат педагогических наук.
Входит в состав Президиума Российской академии образования; коллегии министерства образования и науки Краснодарского края; Общественного совета при ГУ МВД по Краснодарскому краю и совета при министерстве образования и науки Краснодарского края; комиссии при главе администрации Краснодарского края по формированию и подготовке резервов управленческих кадров; является вице-президентом краевой федерации гандбола.