Александр Бобровский родился 16 ноября 1960 года в городе Москва. В актерскую профессию Александр Бобровский пришел не сразу. После восьмого класса он поступил в Московский станко-инструментальный техникум на специальность «техник-технолог автоматических линий по холодной обработке металла резанием». Учась в техникуме, Александр начал заниматься в самодеятельном театре.

Он вспоминает: «Для меня самодеятельный театр был как веселье, игра: я занимался тем, чем занимаются не все, не все могут - а я могу. Это лило бальзам на самолюбие. Актеры должны быть самолюбивыми людьми, вопрос - в какой мере. Потом тот человек, который занимался с нами, сказал: тебе нужно поступать в театральный, что не могло не льстить молодому человеку. Наверное, я тогда уже заразился «бациллой» театра».

Сразу после окончания техникума Александр подал документы в Щукинское училище на курс к легендарному Катину-Ярцеву и… благополучно завалил сочинение. А вскоре ему пришло приглашение от руководителя московской Театр-студии «Арлекин» С.А.Мелконяна. Следующие три месяца Александр днем работал на заводе, а вечером еще шесть часов занимался в Театр-студии. Занимались полностью программой театрального училища, что позволило юноше набраться настоящего мастерства.

Затем были два года службы в рядах российской армии, в ракетных войсках стратегического назначения. Когда же Александр демобилизовался, он уже был твердо уверен, что обязательно станет актером. И это ему удалось - он благополучно поступил в Театральное училище имени Б.В.Щукина на курс Марьяны Рубеновны Тер-Захаровой.

В 1986 году, окончив училище, Александр Бобровский пришел в Московский Государственный академический театр имени Моссовета. Здесь он работает и по сей день. За эти годы он сыграл немало ролей. Среди его работ: «Дорогая Елена Сергеевна!», «Царская охота», «На бойком месте», «Калигула», «Собачий вальс», «Рюи Блаз», «Утешитель вдов», «Мамаша Кураж и ее дети», «Король Лир», «Скандал? Скандал. Скандал!», «Роковая опечатка», «Ошибки одной ночи», «Серебряный век», «Учитель танцев», «Странная история доктора Джекила и мистера Хайда», «Фома Опискин», «Шиворот-навыворот» и другие.

В ряде спектаклей Александр Бобровский демонстрировал замечательные вокальные данные. Именно за его голос актера в свое время взяли в партнеры к знаменитой Ольге Остроумовой в спектакль «Белая гвардия», где он сыграл роль Шервинского. А какие блистательные партии он исполнял в мюзикле «Иисус Христос - суперзвезда»: Понтия Пилата, Савла и Кайафу! При этом никакого специального музыкального образования у Александра нет. «Наверное, голос был заложен генетически. Сам задавался вопросом, как развил», - размышляет над этим актер. Он признается, что, еще учась в театральном, брал уроки у Натальи Дмитриевны Шпиллер, и та советовала ему всерьез заняться музыкой, гарантируя отделение в Большом театре. Но, сердце Александра было полностью отдано драматическому театру. И впоследствии, какие бы сложные музыкальные партии он не исполнял в спектаклях, Александр при этом всегда оставался настоящим драматическим актером.

В кино успехи Александра Бобровского пока что гораздо скромнее. В 1991 году он снялся в мелодраме «След дождя» и в боевике «Русские братья». В последующие годы он появлялся на киноэкране крайне редко и исключительно в эпизодических ролях. В 2007 году актер сыграл небольшую роль маршала Тухачевского в биографической драме «Королев. Главный Конструктор».