Дмитрий Богдан родился 23 мая 1984 года в городе Севастополь, Украина. Уже в детстве юноша всерьез увлекался сценическим искусством. Две из пяти посещаемых им школ были с театральным уклоном, учился он и в школе ИЗО, и в детской оперной студии, работал в Севастопольском ТЮЗе. Именно там он продемонстрировал огромный творческий потенциал и, по совету друзей и родных, остановил свой выбор на актерской стезе, решив стать профессионалом.

Приехав в Москву, Дмитрий подал документы во все профильные образовательные учреждения, однако, по его же словам, не отнесся с должной серьезностью и усердием к подготовке к вступительным экзаменам и везде провалился практически на первом туре. Только в Театральном училище имени Щукина ему повезло: на первое время его приняли в качестве вольного слушателя, а позже зачислили на курс к Юрию Николаевичу Погребничко.

После окончания учебы в 2008 году, Юрий Погребничко пригласил Богдана в постоянный состав труппы театра «Около дома Станиславского», художественным руководителем которого он является. Дмитрий и сейчас блестяще играет в этом театре, оттачивая свое мастерство. Актера можно увидеть как в спектаклях по произведениям современных драматургов, так и в постановках, основанных на шедеврах классической отечественной и зарубежной литературы: «Три сестры», «Старший сын», «Пять авторов, четыре отрывка», «Край света» и многих других.

Дмитрий Богдан проявил также свои артистические способности в кино- и телепроектах. В начале своего творческого пути, он появился в эпизодической роли приключенческого комедийного сериала Валерия Быченкова «Иванов и Рабинович». Четыре года спустя поднабравшийся опыта Богдан, исполнил главную роль в мелодраме Елены Голосий «Городской пейзаж». Но настоящую популярность актеру принесли роль эпатажного пионера-акселерата Сени в картинах Сергея Лобана «Шапито-шоу» и следователя Мити в сериале «Следаки».

В фильмографии Дмитрия Богдана к 2016 году было более десятка фильмов и сериалов, среди которых: сериал о новобранцах строительного батальона «Стройбатя», мистический сериал на телеканале ТВ-3 «13», проект режиссера Романа Каримова «Стартап» и другие.

В 2017 году на экраны выходит фильм ужасов «Черная вода», режиссером которого также стал Роман Каримов. На одну из главных ролей в картине он вновь пригласил Дмитрия Богдана, а вместе с ним в картине заняты Ирина Старшенбаум и Евгений Алехин.