Александр Болошев родился 12 марта 1947 года в городе Электрогорск, Московская область.  Баскетболом начал заниматься в секции школы №14. В 15 лет А.И. Жилин пригласил Сашу в подмосковный клуб «Спартак». На ежедневные тренировки и дорогу до города Ногинск и обратно уходило немало времени. В составе сборной Подмосковья дважды завоевал титул Чемпиона Московской области.

На Первенстве России среди детско-юношеских спортивных школ в городе Ростов-на-Дону привлек внимание молодого талантливого тренера Александра Гомельского. Так Александр стал динамовцем и оставался им до конца свой карьеры и игрока, и тренера. В городе Волгоград окончил среднюю общеобразовательную школу №8. Позднее получил диплом Волгоградскую государственную академию физической культуры.

В 1965 году баскетболист с ростом 205 см, центровой волгоградского «Динамо», вошел в состав молодежной сборной СССР. С командой в следующем году завоевал титул Чемпиона Европы среди юниоров. А в 1967 году стал одним из главных героев незабываемого матча сборных Волгоградской и Свердловской областей на Спартакиаде России, когда юниорская команда сумела обыграть «уралмашевских свердловчан».

Александр Гомельский в 1969 году получил приглашение возглавить московский клуб «Динамо». В последующие одиннадцать лет вплоть до завершения спортивной карьеры талант Болошева-игрока раскрылся в полной мере. В составе клуба трижды завоевывал бронзовые медали Чемпионата СССР, в составе сборной города трижды побеждал в Спартакиаде народов СССР, а в составе сборной СССР дважды становился Чемпионом Европы, Чемпионом Всемирной Универсиады и Чемпионом Олимпийских игр.

Болошев блестяще читал игру, быстро и точно мыслил, уверенно играл на любой позиции. Даже став весьма заметной фигурой в баскетболе оставался верен себе, не любил выпячиваться. Знаменитая драма финальных трех секунд олимпийского турнира-1972 года в немецком Мюнхен навечно вошла в историю баскетбола. Телетрансляцию матча смотрела вся страна, испытывая невероятную гордость за советских баскетболистов. Позднее завоевал титул Чемпиона Мира и стал серебряным призером.

Главному тренеру Александру Гомельскому для Чемпионата Мира-1978 года в Филиппинском городе Манила требовался игрок. Выбор пал на ветерана Александра Александровича. Через два года спортсмен завершил карьеру игрока и получил приглашение тренировать женскую команду «Динамо» города Москва, позднее стал ее Главным тренером. 

С 1984 по 1998 года работал Главным тренером, потом Начальником мужской команды «Динамо». В эти годы клуб трижды становился серебряным призером Чемпионата России, а также бронзовым призером единственного Чемпионата СНГ.

После распада БК «Динамо» в 1998 году, вернулся в родное Подмосковье, в образованный баскетбольный клуб «Химки», где до последних дней жизни занимал должность заместителя Генерального директора. Опыт и огромный авторитет баскетболиста стали работать на развитие клуба и подмосковного молодежного баскетбола. Впоследствии в Химках учредили ежегодный турнир его имени для юных баскетболистов, ставший позднее международным.

Болошев Александр Александрович скончался 16 июля 2010 года в городе Волгоград, где находился на отдыхе. Похоронен на Машкинском кладбище в городе Химки, Московская область. Через два года на кладбище установили памятник спортсмену.

За заслуги в спортивной деятельности и многолетний добросовестный труд удостоен звания «Заслуженный мастер спорта СССР». Награжден медалью «За трудовую доблесть», орденом «За заслуги перед Отечеством» II степени. Получил Благодарность Президента России «За большой вклад в развитие отечественного баскетбола».