Артём Быстров родился 19 марта 1985 года в городе Нижний Новгород. Будущий актер мечтал о карьере военного и хотел поступить в военный университет во Владивостоке или в институт ВДВ в Рязани. Но после окончания школы Артем понял, что нужно идти в театральное училище.

В 2006 году окончил Нижегородское театральное училище им. Е.А.Евстигнеева, актёрский факультет Р.Я.Лявите. После уехал поступать в школу-студию МХАТ. Это удалось сделать с первой попытки. В 2009 году Артем окончил курс Константина Райкина.

После окончания школы-студии МХАТ, несмотря на многочисленные предложения других театров  работать, Артем принял приглашение театра МХТ имени А.Чехова. Он начал карьеру с массовки и эпизодических ролей в постановках «Река с быстрым течением», «Двенадцать картин из жизни художника». Через несколько лет Артем начал появляться в центральных и главных ролях. Он играл в «Обрыве», «С любимыми не расставайтесь», «Мастере и Маргарите», «Белой Гвардии» и других серьезных спектаклях.

Кинодебют актера состоялся в 24 года - это была небольшая роль в сериале «Отблески». В 2009 году актёр получил еще несколько предложений эпизодических ролей. А спустя некоторое время актер сыграл снайпера Булатова в проекте «Жизнь и судьба», Ивана Иванчука в «Станице», Вована в «Море. Горы. Керамзит».

Серьезную роль в творчестве молодого актера сыграл Алексей Учитель. Сначала режиссер пригласил Артема на съемки в криминальном фильме «Восьмерка». Затем он рекомендовал актера Юрию Быкову, который собирался снимать фильм «Дурак». И в «Восьмерках», и в «Дураке» актёр сыграл главные роли. За блестящую работу в фильме «Дурак» на Международном фестивале, проходившем в Локарно, актер получил приз за лучшую мужскую роль.