Борис Быстров родился 12 февраля 1945 года. Окончил Школу-студию МХАТ. Артист Московского театра-центра имени М.Н.Ермоловой. Играл в спектаклях: "Балы и страсти Петербурга", "Невольницы", "Измена", "Как любил я Вас!", "Хищница". И по сей день он остается ведущим актером этого театра.

В кино Борис Быстров дебютировал в фильме-сказке "Волшебная лампа Аладдина", снятом по мотивам сборника арабских сказок "Тысяча и одна ночь".

В этой картине начинающий актер сыграл главную роль - Аладдина. Для работы над фильмом режиссер Борис Рыцарев собрал лучших советских актеров того времени. Вместе с Быстровым снялись Георгий Милляр, Эммануил Геллер, Валентин Брылеев. Роль царевны Будур сыграла молодая актриса Додо Чоговадзе. Этот фильм вошел в "золотой фонд" советского кинематографа и по праву считается одной из лучших кинолент для детей.

После этого успеха, Борис Быстров снялся в небольших ролях еще в нескольких фильмах: спортивной киноповести "Удар! Еще удар!", детской музыкальной комедии "Приключения желтого чемоданчика" и других.

В 80-90 годы Борис Быстров снимался в кино редко. Самой заметной работой была главная роль в драме Натальи Киракозовой "Дикий пляж".

В 1997 году после долгого перерыва Борис Быстров был приглашен режиссером Юрием Музыкой на одну из главных ролей в романтическом боевике "Дезертир".

Начиная с 70 годов и по настоящее время Борис Евгеньевич работает на озвучивании мультфильмов и дубляже зарубежных художественных фильмов. Так он дублировал несколько персонажей в "Крестном отце".

Озвучивал полнометражный анимационный фильм "Подводные береты". В мультипликационных сериалах "Симпсоны" и "Футурама" он озвучил все мужские роли.

В настоящее время Борис Евгеньевич женат на актрисе Ирине Савиной. В 1990 году у них родился сын Николай. Он уже в 12 лет успел озвучить несколько фильмов. Борис Быстров рассказывает: "Бывает и так, что нужны дети, просят тогда: Дайте ребенка записать. Поэтому он тоже несколько фильмов записал с нами".