Алексей Есин родился 3 декабря 1987 года в городе Коломна, Московская область. Не стал долго выбирать, чем заниматься, и направился в секцию конькобежного спорта. Талантливого молодого атлета заметили, Алексей без видимого труда проделал путь до основного состава национальной команды, где дебютировал в 19 лет.

Ключевую роль в достижениях молодого человека сыграли его наставники. Алексей занимается по индивидуальной программе с двумя специалистами, Валерием Муратовым и Дмитрием Дорофеевым. Именно под их чутким руководством в 2006 году атлет попал в сборную России по конькобежному спорту. В ее составе через два года стал бронзовым призером Чемпионата России на дистанции 1000 метров.

В 2009 году атлет выступал на XXIV зимней Универсиаде в Китайском городе Харбин. Есин показал себя с лучшей стороны, став третьим на дистанции 1500 метров. Через год на Чемпионате России завоевал серебро на 1000 и 5000 метрах. В командной гонке пришел первым. 

На XXI Олимпийских зимних играх в 2010 году спортсмен принял участие в своей первой Олимпиаде, продемонстрировав на аренах Канадского города Ванкувер не очень хорошие результаты. На дистанции 1500 метров атлет занял 21 место. Примерно такой же исход ждал Алексея на 1000 метрах. Главной причиной таких результатов стала травма и две операции. Есин просто не успел восстановиться и набрать нужную форму. 

На Чемпионате Европы в январе 2018 года с Русланом Мурашовым, Павлом Кулижниковым, Денисом Юсковым победил в мужском спринте, показав время 1 минуту 19,38 секунды. В общекомандном зачете россияне заняли второе место.