Анатолий Грибанов родился 11 сентября 1937 года в районном посёлке Таловая Воронежской области. Рос в многодетной семье, став четырнадцатым по счёту ребёнком. В 1955 году окончил среднюю школу на родине, в 1958 году -с отличием Ульяновское военное училище связи имени Серго Орджоникидзе, в 1972 году - Академию Советской Армии, ныне - Военно-дипломатическая академия.
На военной службе Анатолий Яковлевич состоял с 1955 года по 1994 год. Начинал служить в качестве курсанта Ульяновского военного училища связи имени Серго Орджоникидзе. С производством в ноябре 1958 года в офицерах - в системе Главного разведывательного управления Генерального штаба Вооружённых Сил СССР и, в частности, в ноябре 1958-1970 годов - на командных должностях в частях радиоразведки, а также на ответственных постах в исследовательских и аналитических подразделениях, связанных с получением, сбором и обработкой информации.
К 1970 году стал командиром части. С 1972 года по 1994 год работал в системе оперативной разведки ГРУ: последовательно - в зарубежной командировке в ГДР; на оперативных и командных должностях в Прикарпатском (Львовский военный гарнизон), Среднеазиатском (Душанбинский военный гарнизон) военных округах, Группе советских войск в Германии и Северо-Западной группе войск (бывший Прибалтийский военный округ). Последняя должность перед увольнением в запас - заместитель начальника разведки Северо-Западной группы войск. Полковник в отставке.
С 1994 года Анатолий Грибанов военный пенсионер с местом постоянного проживания в городе Калининграде. Кавалер большого количества государственных наград и, в частности, трёх орденов – Красной Звезды, «За личное мужество» и «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР» 3-й степени, - а также многочисленных медалей, включая «За боевые заслуги» и «За отличие в воинской службе» всех двух степеней. Кроме того, награждён нагрудным знаком «За службу в разведке» и рядом общественных наград и, в том числе, орденом Союза ветеранов военной разведки «Гвоздика».
Автор идеи создания в Парке Победы города Калининграда воинского мемориала в честь фронтового подвига, совершённого советской военной разведкой на Восточно-Прусском направлении, и одновременно - руководитель со стороны общественности инициативной группы по возведению данного мемориала.
Грибанов Анатолий Яковлевич - заслуженный ветеран военной разведки, генеральный директор Представительства некоммерческой организации «Некоммерческое партнерство «Союз ветеранов военной разведки» в городе Калининграде, полковник в отставке.