Александр Грибов родился 22 мая 1986 года в городе Ярославль. После школы в 2008 году окончил юридический факультет Ярославского государственного университета имени Павла Демидова. Затем получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации. Защитив диссертацию в Саратовской государственной юридической академии на тему: «Дифференциация ответственности за экономические преступления в России, ФРГ и США: сравнительно-правовое исследование», получил ученую степень «Кандидат юридических наук».
С 2007 года Александр Грибов активно занимался общественной и политической деятельностью, вступил в партию «Единая Россия». В начале 2008 года стал помощником депутата Ярославской областной думы Александра Князькова.
Далее, 12 октября 2008 года Грибов избран депутатом муниципалитета Ярославля V созыва по одномандатному округу №25 в Красноперекопском районе. Награжден юбилейным знаком «За подготовку к 1000-летию Ярославля».
Через четыре года Александр Сергеевич назначен помощником губернатора Ярославской области Сергея Ястребова по вопросам взаимодействия с федеральными органами исполнительной власти, органами местного самоуправления и институтами гражданского общества. В октябре того же года получил пост вице-губернатора области по вопросам внутренней политики. С февраля 2015 по сентябрь 2016 года являлся председателем Общественной палаты Ярославской области.
На выборах 18 сентября 2016 года Грибов Александр Сергеевич избран Депутатом Государственной Думы VII созыва от избирательного округа 0194, Ярославский - Ярославская область. Член фракции «Единая Россия». Заместитель Председателя комитета Государственной Думы Российской Федерации по государственному строительству и законодательству. Дата начала полномочий: 18 сентября 2016 года.
Распоряжением премьер-министра России Михаила Мишустина 23 января 2020 года Грибов Александр Сергеевич назначен заместителем Руководителя Аппарата Правительства РФ.
Женат.