Сергей Грязцов родился 26 июля 1986 года в городе Москва. Начал заниматься конькобежным спортом в Московской Специализированной детской-юношеской спортивной школе Олимпийского резерва «Воробьевы горы». Первым тренером будущего чемпиона стала Людмила Симарева. После окончания школы получил высшее образование в Российском государственном университете физической культуры, спорта, молодежи и туризма.
На Всемирной Универсиаде в 2009 году Сергей завоевал бронзовую медаль. В 2010 году выиграл Чемпионат России в командной гонке. Позднее неоднократно становился призером в классическом многоборье и вошел в состав сборной России на Кубках и Чемпионатах Мира. Специализируется на средних и длинных дистанциях. В предолимпийском Чемпионате Мира в Корее занял двенадцатое место на дистанции 1500 метров.
В 2013 году Сергей Грязцов зачислен в состав ЦСКА города Смоленск. В этом же и в следующие два года, становился бронзовым призером Чемпионата России в классическом многоборье. Позднее побеждал в этапах Кубков России и Мира. Бронзовый призер Чемпионата России 2017 года.
В январе 2018 года на Чемпионате Европы по конькобежному спорту Сергей Грязцов стал серебряным призерам в мужской гонке преследования вместе с Данилом Семериковым, Александром Румянцевым и Данилой Синициным, показав результат 3 минуты 44,59 секунды. В общекомандном зачете россияне заняли второе место.
Мастер спорта Международного класса по конькобежному спорту. Тренируется под руководством Олимпийского Чемпиона Петрусевой Натальи Анатольевны. Женат на спортсменке Задонской Ладе Игоревне.