Александр Иншаков родился 23 января 1947 года в городе Москва. Вырос в семье учителя физкультуры. Окончил среднюю школу и поступил на завод-ВТУЗ при ЗИЛе, работал механиком. После окончания Московского педагогического института получил специальность тренера-преподавателя и работал тренером по дзю-до и гимнастике. 

В начале 1970-х годов по совету скульптора Александра Рукавишникова Александр Иншаков стал тренироваться карате под руководством Алексея Штурмина. Через 3-4 года тренировок стал инструктором, получил чёрный пояс. Участвовал в соревнованиях - был абсолютным чемпионом на первом чемпионате Москвы в 1979 году. После запрета карате ушёл в «подполье», участвовал в показательных выступлениях. Позже перешёл в айкидо.

Благодаря Алексею Штурмину Александр Иншаков попал в кино, где первоначально выступал как каскадер, потом начал играть эпизодических персонажей, владеющих единоборствами или выполняющих сложные трюки. Как правило, является постановщиком трюков в фильмах, в которых участвует. Первая его картина – «В зоне особого внимания» (1977). За двадцать лет работе на «Мосфильме» в качестве каскадера и постановщика трюков Иншаков снялся в очень известных картинах: «Тегеран-43», «Асса», «Случай в квадрате 36-80», «Человек с бульвара Капуцинов», «Квентин Дорвард», «Плюмбум, или Опасная игра», «Холодное лето 53-го года», «Такси-блюз», «Рыцарский роман», «Бригада», «Человек с бульвара КапуциноК» и других. Более 20 лет проработал на киностудии «Мосфильм».

Он дублировал известных актеров Леонида Ярмольника, Александра Абдулова, Гойко Митича и других. Иншаков также сыграл главные роли в фильмах «Крестоносец», «Цена сокровищ», «Крысиный угол». В последнем фильме он также является режиссером и продюсером. В нем были исполнены несколько уникальных трюков. В последующие годы ряд картин, вышедших с участием Александра, также были спродюсированы им. Также работал он и на съемках иностранных картин в США, Италии, Югославии, Румынии, Чехии.

В 1991 году Иншаков явился инициатором создания Ассоциации каскадеров России (по сути профсоюза людей этой профессии) и стал ее президентом. 

В 2010 году Денис Алексеев и Иншаков объединили свои кинокомпании «Фаворит-Медиа» и «Каскад» и объявили о создании «Триада-Фильм». Увлекается дайвингом, горными лыжами.

В апреле 2013 года Главное следственное управление Следственного комитета РФ по городу Москве заявило о том, что у Министерства культуры РФ было похищено более 30 миллионов рублей. «По данным следствия, неустановленные лица из числа участников ООО „Триада-Фильм“ не позднее 12 марта 2013 года изготовили протокол общего собрания участников данного общества от 11 марта 2013 года, содержащий недостоверные сведения относительно якобы принятого решения о ликвидации ООО „Триада-Фильм“, назначении ликвидатора и нового генерального директора».