Леонид Иванович родился 6 августа 1960 года в селе Степной Дворец на берегу Байкала. Рано потерял родителей, воспитывался в детском доме в городе Улан-Удэ. В 1982 году окончил факультет машиностроения Восточно-Сибирского технологического института. В студенческие годы серьезно увлекался спортом: стал мастером спорта по подводному плаванию и пятиборью, выступал за сборные команды России на соревнованиях международного уровня.
Получив диплом инженера, начал трудовую деятельность на Волжском автозаводе. Прошел путь от мастера до заместителя начальника управления в научно-исследовательском центре АвтоВАЗа. Управление занималось проектированием и испытанием спортивных автомобилей, а также подготовкой команды гонщиков к состязаниям.
Молодой специалист активно участвовал в общественной жизни предприятия. В 1986 году по инициативе руководителя заводского комсомола Леонида Калашникова впервые на ВАЗе и в стране прошли выборы комсомольского секретаря на альтернативной основе. Калашников убедительно победил, подтвердив свое лидерство в одной из крупнейших молодежных организаций страны.
В 1985 году вступил в Коммунистическую партию Советского Союза. Окончил Высшую комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ и аспирантуру при ВКШ. Кадровая школа комсомола и партии выдвигала ярких и талантливых молодых организаторов на первые позиции: вскоре Калашников стал заместителем секретаря парткома ВАЗа. Избирался депутатом городского совета города Тольятти.
Серьезная комсомольско-партийная подготовка, большой производственный и управленческий опыт помогли Леониду Калашникову не потеряться и в новых экономических условиях: в 90-е годы он руководил на родном ВАЗе одной из первых производственно-коммерческих фирм «Инком Авто». В период, когда на российский рынок хлынул поток дешевых подержанных иномарок, твердо отстаивал позиции отечественного автопрома. Благодаря работе таких менеджеров, как Калашников, АвтоВАЗ не разделил печальную судьбу многих российских автозаводов, а остался на плаву и сохранил сотни тысяч рабочих мест.
С 1996 года Леонид Иванович живет и работает в Москве. Десять лет трудился в области электроэнергетики: занимал одну из руководящих должностей в корпорации «Единый электроэнергетический комплекс» - некоммерческом партнерстве энергопроизводителей и сбытовых компаний. Тесная работа с регионами позволила Леониду Ивановичу досконально изучить экономическую ситуацию в стране, оценить масштаб надвигающегося технологического и социального кризиса.
С 2000 года являлся советником Председателя ЦК КПРФ Г. А. Зюганова. С 2006 года был главным редактором «Рабочей газеты». В ноябре 2008 года на XIII съезде КПРФ был избран членом Президиума и секретарем ЦК КПРФ, курирующим международные и экономические связи партии. На I Пленуме ЦК КПРФ 24 февраля 2013 года, созванном по завершению работы XV съезда КПРФ, вновь был избран секретарем, членом Президиума ЦК КПРФ.
На выборах 18 сентября 2016 года Калашников Леонид Иванович был избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого политической партией «Коммунистическая партия Российской Федерации». Член фракции политической партии «Коммунистическая партия Российской Федерации». Председатель комитета ГД по делам Содружества Независимых Государств, евразийской интеграции и связям с соотечественниками. Региональная группа № 32 - Оренбургская область, Самарская область. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.
На XVII съезде КПРФ 27 мая 2017 года вновь избран членом ЦК КПРФ. На I Пленуме ЦК КПРФ, созванном после съезда, вновь избран членом Президиума, секретарем ЦК КПРФ, курирующим международные и экономические связи партии.