Дмитрий Кавунов родился 20 июня 1953 года в Республике Узбекистан. С детства занимался гимнастикой и катался на лыжах. Выступил инициатором создания группы любителей, увлекающихся лыжной акробатикой. Долгие годы совмещал спортивную и тренерскую карьеру, но в 34 года окончательно выбрал последнюю.
Из-за сложно финансовой обстановки уехал в Северную Америку, где сначала соглашался на работу в гимнастических школах и клубах, затем долгие годы взаимодействовал со сборными Канады и США.
Кавунов воспитал Олимпийского Чемпиона по лыжной акробатике 1994 года Лину Черязову из Республики Узбекистан, Чемпиона Мира 1991 года Василису Семенчук.
В период с 1 октября 2010 года по 20 апреля 2018 года Кавунов занимал должность старшего тренера по акробатике сборной команды России по фристайлу.
Дмитрий Ефимович внес неоценимый вклад в развитие акробатики, вырастил несколько поколений талантливых спортсменов. Активно взаимодействует с Международной федерацией лыжных видов спорта, FIS, по улучшению качества судейства в акробатике.