Алексей Кирсанов родился 29 июля 1986 года. В 2010 году окончил Школу-студию Московского художественного академического театра, курс И.Я. Золотовицкого. Затем Алексея приняли в стажерскую группу Московского Художественного театра имени А.П. Чехова. 

С 2010 года Кирсанов выступал в спектаклях «Прокляты и убиты», «С любимыми не расставайтесь…», «Мастер и Маргарита» и «Пиквикский клуб». Также сыграл Ивана в постановке пьесы «Олеся» режиссера Галины Полищук на сцене театра «Et Cetera» под руководством Александра Калягина.

В 2010 году дебютировал в кинематографе в эпизодической роли в сериале «Глухарь. Возвращение». До 2015 года снялся в сериале на телеканале «НТВ» про противостояние оперативника Федеральной службы безопасности с отчаянным бандитом «Игра»; шестом сезоне детективного сериала «Каменская»; многосерийной полицейской драме «Пятницкий»; авантюрной криминальной мелодраме «Королева бандитов»; сериале о жизни одного из самых бойких столичных мест «Москва. Три вокзала» и других.

В 2015 году зрители увидели Алексея Кирсанова в молодежном киносериале «Закон каменных джунглей». Актер сыграл лейтенанта Дорожно-патрульной службы Сашу.  

Актер в 2017 году снялся в мистическом фильме ужасов «Конверт», сериалах «Непокорная» и «Хождение по мукам» по мотивам одноименного произведения Алексея Толстого.