Алексей Климушкин родился 2 мая 1965 года в городе Санкт-Петербург. Он, как многие сверстники хотел стать космонавтом. Окончив школу, мальчик выбирал между двумя учебными заведениями. Он хотел учиться либо в мореходном училище, либо в институте жд транспорта. В результате поступил в институт, так как он был прямо рядом с домом.

Службу в армии Климушкин проходил на флоте. После службы он решил стать артистом. В 1987-ом он стал студентом театрального института.

Сразу после окончания театрального, Алексей снялся в фильме. Это был дебют, после которого был девятилетний перерыв. С кино как-то с самого начала у молодого актёра не складывалось. Вскоре знакомые пригласили его на радио. Климушкин попробовал и сразу втянулся, влюбился в эту работу. Взяв псевдоним Аркадий Арнаутский, он работал ди-джеем на «Радио Модерн», позже перешёл на «Nostalgie».

Снова сниматься Алексей начал только в 2001 году. Роли были незаметные, для зрителя Климушкин оставался неузнаваемым актёром. Всё изменилось, когда однажды знакомый, с которым он учился, позвонил и посоветовал сходить на кастинг в проект «Универ». Дело в том, что этот знакомый был режиссёром кастинга этого сериала. Его фамилия - Влад Ланне, чешский режиссёр. Алексей хотел отказаться, но тот настоял. Он сходил и сразу почувствовал, что это «его», понял, что герой близок ему по духу.

Как только «Универ» начал транслироваться, сразу стало понятно, что можно говорить об открытии нового комедийного актёра, который, к большому сожалению, не был до того момента известен зрителю.

Актёр говорит, что ему не пришлось работать над образом. Что-то, конечно, подсмотрено им из жизни, но всё остальное - своё.

Многим кажется, что Климушкин похож с актёром Андреем Гайдуляном, который играет сына его героя. Специально ли так подобрано продюсерами или это совпадение - неизвестно.

Отношения между актёрами «Универа» на площадке всегда были замечательные, такими они сложились с самого начала. Своего сериального сына Климушкин называет сыном или Сашей, а тот называет его папой. Так им легче, ведь их сцепка очень крепкая.

Своего полюбившегося сериального героя актёр жалеет, ведь от того ушла жена, а женщинам он нравится только за то, что богат. Чтобы образ героя не казался трагичным, он старается играть Сильвестра как можно веселее, благодаря чему зритель не видит, насколько тот одинок.

У Климушкина нет ни машин, ни домов, как у Сильвестра Андреевича. Всё что актёр зарабатывает, он предпочитает тратить на образование детей и на здоровье. Он говорит, что если бы у него были такие же большие деньги, как у его героя, он вложил бы их в своё кино.

Климушкин – профессиональный режиссёр, однако во время съёмок он никогда не вмешивается в процесс работы режиссёра. Как актёр сам выразился, он всегда уважительно относился к умным режиссёрам, которые могут дать умную находку, которая ему самому неизвестна.

С Валентиной Рубцовой, которая играет в ситкоме Татьяну, Климушкин знаком более десяти лет. Впервые они увиделись в мюзикле, когда Алексей выступал в качестве режиссёра, а актриса была одной из участниц группы «Девочки». Работу в ситкоме Климушкин считает очень тяжёлой, он сравнивает её с конвейером. Недаром многие актёры отказываются от подобных съёмок, считая, что это «грязный» актёрский жанр.

Работу в ситкомах Алексей сравнивает так же с работой спортсмена. Эти съёмки больше подходят молодым актёрам, так как подобные нагрузки им ещё по силам.

В 2009-ом актёр принял участие в съёмках комедии «Весельчаки». Там так же играла Рената Литвинова, Мария Шалаева, Ингеборга Дапкунайте и Вилле Хаапасало. Он сыграл там Фиру – актёра травести-шоу. Несмотря на звёздный состав, фильм оказался откровенно слабым.

Климушкин выходит на театральную сцену, и отношения с театром у него сложились более удачно, чем с кино. Зрители дали высокую оценку постановке «Кыця», режиссёром которой является Лев Рахлин. Актёр играет там вместе со своими однокурсниками Дмитрием Нагиевым и Игорем Лифановым.

Климушкин так же играет в постановке Театрального агентства «Лекур». Вместе с ним там задействован Виталий Гогунский, Андрей Гайдулян и Мария Кожевникова. Название спектакля – «Шикарная свадьба».

С 2013 года Климушкин вновь приступил к съёмкам, это опять роль полюбившегося ему Сильвестра Андреевича. Новый проект называется «САШАТАНЯ».