Георгий Климушкин родился 2 февраля 1912 года. В армии с 15 марта 1929 года. В 1932 окончил седьмую военную школу летчиков. Служил в строевых частях Военно-воздушных сил. С августа 1940 года являлся летчиком-испытателем военной приемки на авиазаводе №292. Участвовал в испытаниях серийных Як-1.
Климушкин принимал участие в Великой Отечественной войне. В июне-июле 1943 года являлся инспектором-летчиком Летной инспекции Военно-воздушные силы Краснознаменного Балтийского флота. Затем стал летчиком-испытателем 4 отдела Военно-воздушных сил Военно-морского флота. Награжден двумя орденами Красной Звезды.
В период с 1946 по 1954 год Георгий Климушкин находился на летно-испытательной работе в Опытно-конструкторском бюро А.С.Яковлева. Поднял в небо и провел летные испытания Як-18, Як-17-РД-10, Як-17УТИ, Як-17. Принимал участие в испытаниях Як-10, Як-11, Як-12 М-11ФР, Як-16, Як-20, Як-23УТИ.