Михаил Коркия родился 10 сентября 1948 года в городе Кутаиси, Грузия. Баскетболом занимался в спортивной школе у Заслуженного тренера СССР Сулико Тортладзе, где познакомился и подружился еще с одним воспитанником того же тренера и будущим олимпийским Чемпионом Зурабом Саканделидзе. После школы учился в Грузинском политехническом институте.

Уже в 17 лет Михаил играл за тбилисский баскетбольный клуб «Динамо», ему оставался верен всю свою жизнь. В 1968 году Коркия помог «Динамо» в четвертый раз стать Чемпионом СССР. Приглашение спортсмена в главную сборную страны лишь вопросом времени. В 1970 году Александр Гомельский стал привлекать его к участию в тренировках и малоответственных турнирах. С приходом в сборную Владимира Кондрашина закрепился в основном составе. 

На Чемпионате Европы-1971 года в немецком городе Эссен, где играл достойно и немало поспособствовал обретению сборной СССР чемпионского звания. Прологом грядущей победы на Олимпиаде-1972 года в городе Мюнхен стало участие советской сборной в начале 1972 года в розыгрыше «Межконтинентального Кубка для клубных команд» Международной федерации баскетбола, ФИБА, в США. Советская сборная заняла второе место. В том же году одержали победу на XX летних Олимпийских играх.

В составе сборной СССР в 1973 году выиграл серебряную медаль Всемирной Универсиады; победил в IV «Мемориале Ю.А. Гагарина». Весной того же года на таможне аэропорта Шереметьево случился громкий скандал, связанный с «нарушением правил ввоза материальных ценностей в СССР». В результате четыре баскетболист получил «пожизненную дисквалификацию» и отчислен из сборной. Позднее санкции сняли.

В 1975 году Коркия в составе сборной Грузии завоевал бронзовую медаль Спартакиады народов СССР. В том же году со сборной СССР впервые стал серебряным призером Чемпионата Европы в Югославии, а через два года в Бельгии повторил это достижение. Вдохновенно играл на своей второй Олимпиаде-1976 года в канадском городе Монреаль.

Михаил Коркия в 1980 году закончил выступления в большом спорте. Пробовал себя как тренер, сезон отработал с родной командой «Динамо» и еще сезон с командой «Динамо» города Москва. Одновременно пробовал себя в предпринимательстве. Живя в городе Тбилиси, до 2004 года занимал должность Вице-президента американской инвестиционной компании. Являлся совладельцем футбольной команды «Торпедо» города Кутаиси. Баллотировался на пост Президента Федерации баскетбола Грузии.

С годами надорванное сверхтяжелыми нагрузками в большом спорте сердце начало подводить Михаила Шотаевича. Михаил Коркия скончался 7 февраля 2004 года в городе Тбилиси от острой сердечной недостаточности. Похоронен на Сабурталинском кладбище в городе Тбилиси.

За заслуги в спортивной деятельности удостоен Почетного звания «Заслуженный мастер спорта СССР». Награжден медалью «За трудовое отличие».