Алексей Кравцов родился 10 августа 1963 года в городе Челябинск. С раннего детства увлекался спортом. Занимался профессионально дайвингом, увлекался горными лыжами. В 1980 году поступил в Институт инженеров транспорта на факультет вычислительной техники и автоматики в городе Москва. Получил диплом в 1985 году. Впоследствии окончил аспирантуру ВУЗа.
Трудовую деятельность Кравцов начал в должности инженера-исследователя в МИИТе на кафедре электроники.
В 1989 году занялся предпринимательской деятельностью. В 1993 году стал одним из соучредителей компании «Крафтвэй корпорэйшн ПЛС», занимающейся производством для рынка России средств вычислительной техники. До 2008 года занимал должность Генерального директора, затем возглавил образованный на ее базе холдинг, став его Президентом.
На внеочередном Конгрессе Союза конькобежцев России, состоявшемся 27 декабря 2009 года, назначен Президентом союза. Переизбирался 2 июня 2014 года. Член Исполкома Олимпийского комитета России.
Алексей Кравцов занимается благотворительной деятельностью. Неоднократно отмечался благодарностями и грамотами за существенный вклад руководимой им компании в развитии социального партнерства.
Алексей Юрьевич награжден орденом Почета, знаком «Отличник физической культуры и спорта», отмечен грамотами и благодарностями Министерства спорта РФ и Олимпийского Комитета России. Неоднократно входил в рейтинг 25 лучших управляющих IТ-компаний России по версии профильного издания CRN.