Дмитрий Куличков родился 3 июня 1979 года. Во втором классе мать привела мальчика в драматический кружок в городе Саратов. Именно там Дима принял решение поступать в театральное училище. После школы до 2001 года учился на театральном факультете Саратовской Государственной консерватории имени Л.В. Собинова, в мастерской Народного артиста России Александра Григорьевича Галко.
В 2001 году сыграл три спектакля: «Мнимый больной», «Человек и джентльмен», «Гроза». «Человек и джентльмен» с «Грозой» шли на большой сцене Саратовского драматического театра и держались в репертуаре полтора года.
Решив продолжить образование, Куличков уехал в город Москва и поступил в Школу-студию Московского художественного академического театра, курс Евгения Каменьковича. Диплом получил в 2004 году. Затем стал артистом Московского театра-студии под руководством О. Табакова. Играет в Московском театре юного зрителя и на сцене Художественного театра.
Дебютировал в кинематографе Дмитрий в цикле фильмов «Шукшинские рассказы» по В. Шукшину в 2002 году. Затем сыграл Студзинского в сериале «Белая гвардия», «Психа» в фильме «Лебединый рай», сержанта Чахлова в «Кремне», летчика Карелина в «Брестской крепости».
В 2011 году на экраны вышла комедия Константина Буслова «Бабло», где актер сыграл Василия Хлопко. Позднее снялся в криминальном сериале «Ищейка».
В 2017 году принял участие в съемках мистического фильма ужасов «Конверт».
Однозначного выбора между театром и кинематографом актер не делает, успешно играя как на сцене, так и на съемочной площадке. Большую роль в его жизни занимает музыка.
Дмитрий Куличков является Лауреатом премий «Триумф» за достижения в области литературы и искусства и премии газеты «Московский комсомолец» в номинации «Лучший актерский ансамбль» за спектакль «Рассказ о семи повешенных».