Алексей Курашов родился 18 декабря 1976 года. Высшее образование получил на юридическом факультете Московского государственного университета по землеустройству. Позднее окончил факультет зимних видов спорта Московской государственной академии физической культуры.

С 1997 года его трудовая биография связана со спортом. Стал одним из основателей Русской горнолыжной школы. Занимал должность Директора «Фонда содействия развитию Русской горнолыжной школы». Учредитель Национальной Горнолыжной Лиги.

До 2010 года Курашов являлся Исполнительным директором Федерации горнолыжного спорта города Москва. Проводил городские соревнования, систематизировал работу сборных команд города по горнолыжному спорту. Входил в состав комиссии Международной федерации лыжного спорта FIS по организации и проведению тестовых мероприятий по лыжным видам спорта на олимпийских объектах в городе Сочи.

С 2010 года Алексей Николаевич занимал руководящие должности в Федерации горнолыжного спорта и сноуборда Российской Федерации: Административный директор, Председатель контрольно-дисциплинарного комитета, Исполнительный директор, Генеральный секретарь, заместитель Председателя всероссийского тренерского совета, Председатель всероссийской коллегии судей по сноуборду.

В 2014 году стал руководителем Олимпийской делегации по сноуборду на XXII зимних олимпийских играх в городе Сочи, где сборная команда страны завоевала две золотых, серебряную и бронзовую медали.

В 2016 году 12 мая назначен на пост Президента Федерации фристайла России. 

Алексей Курашов является спортивным судьей всероссийской категории по горнолыжному спорту, сноуборду. Заместитель Генерального директора Дирекции по реконструкции и эксплуатации спортивного комплекса «Воробьевы горы» в городе Москва. Состоит в комитете Международной федерации лыжного спорта FIS по фристайлу.