Алексей Куринный родился 18 января 1974 года в городе Цхинвали, Грузия. В 1997 году окончил медицинский факультет Ульяновского филиала Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова по специальности «Лечебное дело».

Последующие 13 лет Алексей Владимирович работал врачом-хирургом в поликлиническом отделении Ульяновской городской больницы №2, затем в больнице скорой медицинской помощи Ульяновска. В этот же период преподавал на кафедре госпитальной хирургии медицинского факультета Ульяновского государственного университета. 

В 2002 году в Самарском государственном медицинском университете защитил диссертацию на тему «Нарушения эвакуаторной функции после резекции желудка по поводу осложненной язвенной болезни и их лечение», получив ученую степень кандидата медицинских наук. Позднее получил дополнительное образование, окончив заочное отделение юридического факультета Ульяновского государственного университета.

Параллельно работе, с 2004 года по 2008 год Алексей Владимирович являлся депутатом Законодательного собрания Ульяновской области третьего созыва. Был избран в ходе дополнительных выборов от «Единой России» по Засвияжскому избирательному округу №14. В 2007 году перешел в «Справедливую Россию». Был членом партийной фракции в Заксобрании. Являлся заместителем председателя комитета по социальной политике и делам молодежи.

С 2008 года, в течении пяти лет, являлся депутатом Законодательного собрания Ульяновской области четвертого созыва. Избран от «Справедливой России» по Засвияжскому избирательному округу №15. В сентябре 2008 года исключен из «Справедливой России», за участие в протестных акциях КПРФ. В дальнейшем был внепартийным депутатом. Входил в состав комитета по государственному и муниципальному строительству и делам молодежи.

С 2010 года по 2011 год Куринный занимал должность главного врача Ульяновской городской больницы №2. В 2011 году назначен главным врачом Ульяновского областного клинического центра специализированных видов медицинской помощи имени Е.М. Чучкалова. С 2013 года Алексей Куринный продолжает работать в клиническом центре в качестве врача-хирурга.

В 2013 году избран депутатом Законодательного собрания Ульяновской области пятого созыва, по Ленинскому одномандатному округу №14. Входил в состав комитета по социальной политике. С ноября 2014 года стал первым секретарем Ульяновского обкома КПРФ. Депутатские полномочия Алексея Куринного были досрочно прекращены 22 сентября 2016 года в связи с избранием в Государственную думу РФ.

На выборах 18 сентября 2016 года Куринный Алексей Владимирович был избран Депутатом Государственной Думы VII созыва от избирательного округа 0187 -Ульяновский - Ульяновская область. Член фракции политической партии «Коммунистическая партия Российской Федерации». Член Комитета ГД по охране здоровья.