Наталья Кувшинова родилась 3 июня 1986 года в городе Заринск, Алтайский край. Воспитывалась в семье педагогов. В родном городе окончила среднюю общеобразовательную школу №4 с серебряной медалью. Занималась баскетболом, посещала занятия в музыкальной школе и театральной студии.

В 2008 году с отличием окончила юридический факультет Алтайского государственного университета. В студенческие годы неоднократно участвовала и побеждала в региональных, всероссийских и международных олимпиадах и конференциях по специальности «Гражданское и предпринимательское право, гражданский и арбитражный процесс». Являлась именным стипендиатом президента РФ, главы города Барнаула и компании «КузбассЭнерго».

Во время учебы в вузе была избрана депутатом Молодежного парламента Барнаула, впоследствии стала депутатом Молодежного парламента Алтайского края. С середины 2000 годов работала по специальности: юристом в компании «Байт», затем начальником юридического отдела и заместителем директора по правовым вопросам ООО «СтройПрактик». С 2011 года была помощником директора по социальным вопросам ОАО «СПП „Стройгаз“». 

С 2009 года являлась депутатом Молодежного парламента при Госдуме РФ. Была членом комиссии по защите прав молодежи, попавшей в трудную жизненную ситуацию. В мае 2011 года была избрана ответственным секретарем Молодежного парламента при Государственной думе РФ. В октябре 2012 года стала его председателем, в последующие годы переизбиралась на этот пост. Была помощником депутата Алтайского краевого Законодательного Собрания Всеволода Кондратьева. 

Перед избранием в депутаты Государственной Думы состояла в должности заместителя Секретаря Алтайского регионального отделения Всероссийской политической партии «Единая Россия». Член партии «Единая Россия». Председатель регионального отделения Российского движения школьников в Алтайском крае. 

На выборах 18 сентября 2016 года Кувшинова Наталья Сергеевна баллотировалась в Государственную Думу РФ седьмого созыва по списку «Единой России», но по итогам выборов не прошла. Выдвигалась под десятым номером в региональной группе №6 - Республика Алтай, Алтайский край, Кемеровская область, Томская область. В итоге 28 сентября получила мандат Амана Тулеева, губернатора Кемеровской области, который отказался от места в нижней палате парламента. Вошла в комитет ГД по физической культуре, спорту, туризму и делам молодежи.