Андрей Кузичев родился 22 сентября 1970 года в городе Москва. Ее родители - ученые-физики, для которых Андрей стал поздним ребенком. В детстве будущий актер любил рисовать и для самоучки показывал высокие результаты.

После окончания школы Андрей поступает в Московский архитектурный институт, так как рисование и черчение были там профилирующими предметами. Поскольку как любому студенту, будущему актеру не хватало денег, он начал преподавать историю искусств и базовые навыки рисунка в столичной Киношколе. Именно там и увлекся театром.

Андрей начал принимать участие в любительских спектаклях и вскоре забрал документы из архитектурного института и поступил в ГИТИС. После окончания обучения Андрей начал выступать в частном проекте «Другой театр», а также в Центре драматургии и режиссуры под руководством А.Казанцева и М.Рощина. Наиболее известной театральной работой актера является роль Максима в нашумевшем спектакле Кирилла Серебренникова «Пластилин», за которую молодой актер был удостоен престижной премии «Чайка» в номинации «Прорыв года».

Кинодебют актера начался сразу с главных ролей в мелодраме «Семейные тайны», картине «Лунные поляны» и психологической драме «Линии судьбы». Звёздной ролью стал образ театрального критика Вадима Марасевича из сериала «Дети Арбата».

Затем актер принял участие в более чем двух десятках картин. Наиболее востребованными у зрителя стали авантюрный детектив «Адъютанты любви», мистический триллер «Чёрная метка», иронический детектив «Любопытная Варвара» и мелодрама «Всё вернётся». Последней работой стала биографическая драма «Людмила Гурченко», в которой он исполнил роль режиссера Виктора Трегубовича.