Дмитрий Ланкин родился 17 апреля 1997 года в городе Майкоп, Республика Адыгея. Мальчик рос в спортивной семье. Отец играл в футбол в клубе «Дружба», мать занималась гимнастикой. Первым тренером стал Вячеслав Косных. Выступает за спортивную школу олимпийского резерва Московского городского физкультурно-спортивного общества «Динамо», а также представляет город Ростов-на-Дону.
Своих первых успехов на юниорском уровне Дмитрий добился в 2013 году на первенстве России, где стал вторым в опорном прыжке. В 2015 году дебютировал на соревнованиях среди взрослых. На Кубке России в личных соревнованиях не смог попасть в число медалистов, но в командном многоборье выиграл серебряную медаль.
В 2016 году Ланкин стал третьим в командных соревнованиях на чемпионате и Кубке России, а на последнем турнире ему удалось выиграть бронзовые медали в опорном прыжке и упражнениях на брусьях. В 2017 году на чемпионате страны стал трехкратным триумфатором соревнований, одержав победы в командном многоборье, упражнениях на кольцах и опорном прыжке.
В результате Дмитрий Ланкин в составе сборной России участвовал в чемпионате Европы. На этих соревнованиях стал серебряным призером в вольных упражнениях и уступив лишь титулованному румынскому гимнасту Марьяну Драгулеску. Несмотря на то что на Кубке России выиграл золотую медаль в командных соревнованиях, а также занял третье место в опорном прыжке и упражнениях на брусьях, спортсмен не вошел в состав национальной команды на личный чемпионат мира.
Через год Дмитрий вновь показал хорошие результаты на национальном чемпионате и Кубке страны, выиграв на обоих турнирах командное многоборье и став многократным призером в отдельных видах. Благодаря этим успехам российский гимнаст вновь получил шанс принять участие на чемпионате Европы.Там выиграл золотую медаль в командных соревнованиях и опорном прыжке. На Чемпионате мира стал серебряным призером в командном первенстве.
В 2019 году Дмитрий Ланкин занял третье место в вольных упражнениях на чемпионате Европы, который проходил в Щецине.
Ланкин является одним из немногих гимнастов в мире, кто исполняет на вольных упражнениях элемент высшего уровня сложности - тройное сальто. Имеет звание мастера спорта России международного класса.