Александр Лебзяк родился 15 апреля 1969 года в городе Донецк, Украина. Через год его семья переехала в посёлок Буркандья Магаданской области, где он начал заниматься боксом под руководством Василия Денисенко. В 1985 году продолжил занятия боксом в ДЮСШ Магадана, где его стал тренировать Геннадий Рыжиков.

В 1987 году получил приглашение в юниорскую сборную СССР и выиграл чемпионат мира среди юниоров. В 1991 году был привлечён в национальную сборную СССР, становился призёром чемпионата Европы и чемпионата мира. В 1992 году в составе Объединённой команды принимал участие в Олимпийских играх в Барселоне. За несколько недель до Олимпиады из-за интенсивной сгонки веса у него лопнуло лёгкое. Тогда он смог быстро восстановиться, но дальше второго круга ему пройти не удалось. Подобноe повторилось и на Олимпийских играх в Атланте, когда во время первого боя у него случился рецидив.

После неудачного выступления на Олимпиаде в Атланте Александр Лебзяк принял решение сменить весовую категорию и перейти из второго среднего веса в полутяжёлый вес. В новой весовой категории он доминировал на протяжении всего следующего олимпийского цикла, становился чемпионом мира, дважды выигрывал чемпионат Европы, завоевал золотую медаль Олимпийских игр в Сиднее.

Став обладателем всех титулов в любительском боксе, в сентябре 2001 года Александр Лебзяк провёл один бой на профессиональном ринге, в котором победил нокаутом. Однако от продолжения профессиональной карьеры отказался и предпочёл перейти на тренерскую работу.

С 2002 по 2004 год был главным тренером ЦСКА по боксу, а с 2005 по 2008 годы руководил тренерским штабом национальной сборной России. В 2008 году вернулся к работе в ЦСКА, в 2010 году избран президентом федерации бокса Москвы, а в 2012 году назначен советником руководителя Департамента физической культуры и спорта правительства Москвы.

С 2013 года вновь возглавил тренерский штаб сборной России по боксу.

В 2015 году на чемпионате мира в Катаре был признан лучшим тренером мира по версии международной боксерской ассоциации AIBA.