Анвар Либабов родился 2 мая 1958 года в поселке Новая Кушва Свердловской области. По национальности - татарин. Вырос в городе Нижний Тагил.

     Поскольку семья Либабовых жила небогато, Анвару в детстве приходилось носить весьма нелепую одежду. Например, полученное от школы в качестве материальной помощи пальто на три размера больше, короткие брюки, стоптанные боты. С учетом очень худой фигуры Анвара и толстых очков, это вызывало насмешки сверстников. К счастью, Анвар не замкнулся в себе, и не озлобился на окружающих - всячески старался развеселить своих товарищей.

     После школы, по решению семейного совета, поступил в ветеринарное училище, которое закончил в 1977 году с Красным дипломом. Сразу же после этого поступил и в 1982 году закончил Ленинградский ветеринарный институт. По распределению был направлен на работу главным ветеринарным врачом колхоза имени И.В.Мичурина в Калининской области. Позже перевелся на работу в совхоз «Ручьи», работал старшим ветеринарным врачом фермы «Лаврики» в Ленинградской области. В 1981 году поступил в школу-студию пантомимы при клоунм-театре «Лицедеи».

     В апреле 1987 года завершил карьеру ветеринарного врача и стал клоуном в театре «Лицедеи». С 1987 по 1989 год был заведующим постановочной частью этого театра, а с 1998 года - генеральным директором. В 2003 году добровольно оставил должность, чтобы иметь возможность уделять больше времени подготовке театрально-циркового шоу «Кракатук» по мотивам сказки Гофмана «Щелкунчик и мышиный король». Тем более, что совмещать творческую работу актера с прагматичной и рутинной работой администратора было очень сложно.

     В настоящее время живет и работает в Санкт-Петербурге. Творческая деятельность Либабова началась в студенческие годы с участия в КВН, СТЭМ и спектаклях студенческого драматического театра по пьесам А.Володина, Е.Шварца. Работая ветврачом, Либабов участвовал в художественной самодеятельности - пел в хоре при сельском клубе, продолжал сотрудничать с «Лицедеями». В 1987 году по приглашению Вячеслава Полунина начал работать в клоунм-театре «Лицедеи».

     Кино-дебютом Анвара Либабова в 1986 году стало участие в музыкальном фильме «Как стать звездой», хорошо известном владельцам первых видеомагнитофонов в Советском Союзе. Позже Либабов неоднократно снимался в кино, но все больше во второстепенных ролях, или в ролях, где не требуется произносить много текста. Характерно, что значимую и эффектную роль он сыграл в картине "Замок", где текста не много.

     Большой работой в кино стала роль Антона Грошева в телесериале «Литейный». По признанию Либабова, это была непростая работа.