Борис Майоров родился 11 февраля 1938 года в городе Москва. Окончил Московский авиационно-технологический институт. Профессиональную спортивную карьеру начал в 1956 году, крайним нападающим столичной хоккейной команды «Спартак».
В составе ХК «Спартак» и сборной СССР, Борис Майоров играл в одном звене с братом-близнецом Евгением Майоровым и Вячеславом Старшиновым. Данная связка игроков считалась одной из сильнейших в советском хоккее 60-х годов.
Параллельно с игрой в хоккей, в 1961 году сыграл два матча за основной состав футбольного клуба «Спартак» Москва в чемпионате СССР. Матчи состоялись 19 и 23 июня 1961 года против команд «Пахтакор» и «Кайрат». Именно тогда, зародился знаменитый клич «Шайбу, шайбу!», перешедший на ледовые арены: как только публика увидела игрока хоккейной сборной СССР на футбольном поле, с трибун начали скандировать «Боря, шайбу!».
На протяжении многих лет, Майоров занимал место капитана хоккейной команды «Спартак». Провел 400 матчей забросил 255 шайб. Вместе с клубом, трижды завоевывал звание Чемпиона СССР - в 1962, 1967 и 1969 годах. Так же, являлся серебряным призером чемпионатов СССР 1965, 1966 и 1968 года, и бронзовым призером первенства 1963 и 1964 года.
В составе сборной СССР по хоккею, спортсмен дважды становился Олимпийским Чемпионом, в 1964 и 1968 году соответственно. Так же, начиная с 1964 года, на протяжении шести лет подряд, нападающий являлся Чемпионом Мира.
К тренерской деятельности приступил в 1967 году, в качестве играющего старшего тренера ХК «Спартак» города Москва. Затем, завершив игровую карьеру, 7 октября 1969 года назначен на должность старшего тренера. Под руководством Бориса Майорова, команда дважды выиграла Кубок СССР. Являлась серебряным и бронзовым призером Чемпионата СССР.
С 1971 года, работал старшим тренером юношеской сборной СССР. В 1972 году занял аналогичную должность в составе второй сборной Советского Союза.
В период с 1974 по 1976 год, Майоров работал главным тренером Хоккейного Клуба «Йокерит» города Хельсинки, Финляндия.
Начальником сборной команды СССР назначен в 1976 году. Являлся помощником Виктора Тихонова на первом розыгрыше Кубка Канады.
С 6 августа 1979 по 14 марта 1983 года, Борис Александрович занимал должность начальника Управления хоккея Государственного комитета спорта СССР. С сентября по ноябрь 1991 года, руководил Федерацией хоккея РСФСР.
В ноябре 1991 года, вновь уехал на работу в Финляндию, где в течении двух лет был главным тренером ХК «Йокерит», а в сезоне 1993 - 1994 года, находился на посту наставника Хоккейного Клуба «Таппара».
С 1995 года, Борис Майоров работал Генеральным менеджером сборной России. В июле 1998 года стал президентом ХК «Спартак» города Москва, а 25 июня 2001 года, избран Вице-президентом Федерации Хоккея России.
В марте 2010 года, вошел в тренерский штаб сборной России в качестве советника.
На ряду с работой на руководящих должностях, на протяжении долгого времени Майоров Борис Александрович работал спортивным комментатором на таких телеканалах как: НТВ, «НТВ-Плюс», «ТВЦ» и «КХЛ-ТВ». В 2015 году в связи с созданием ТК «Матч ТВ» со многими возрастными комментаторами из спортивной редакции «НТВ-Плюс» не были продлены контракты, после чего Майоров завершил свою карьеру на телевидении.
Занимает должность Председателя совета ветеранов АНО «Народная команда - ХК «Спартак».
Является Заслуженным мастером спорта СССР и Заслуженным тренером Советского Союза. Автор книги «Я смотрю хоккей».
Указом Президента Российской Федерации от 9 августа 2019 года, «За большой вклад в развитие физической культуры и спорта» Майоров Борис Александрович награжден Орденом «За заслуги перед отечеством» II степени. Церемония вручения состоялась 21 ноября 2019 года в Кремле.
Двукратный чемпион Олимпийских игр 1964, 1968
Шестикратный чемпион мира и Европы 1963-68. Бронзовый призер ЧМ-1961. На ЧМ и ЗОИ - 50 матчей, 30 шайб.
Самый результативный игрок ЧМ-1961 по системе «гол+пас».
Трехкратный чемпион СССР 1962, 1967, 1969; второй призер чемпионатов СССР 1965, 1966 и 1968, третий призер 1963 и 1964. В чемпионатах СССР сыграл 400 матчей, забросил 255 шайб.
Финалист Кубка СССР 1967 года.
В 1999 году введен в Зал славы ИИХФ.
Входил в список 34 лучших хоккеистов СССР в 1959-1969 годах.
Входил в число 6 лучших хоккеистов СССР в 1959, 1962, 1967 годах.
Член Клуба Всеволода Боброва (329 шайб).
Орден «За заслуги перед Отечеством» II степени (09.08.2019)
Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (2000; в связи с 65-летием общества «Спартак»; награду вручал Владимир Путин)
Орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени (26.12.2011)
Орден Почета (20.12.1996)
Орден Трудового Красного Знамени (30.03.1965)
Орден Дружбы народов (27.11.1985)
2 ордена «Знак Почета» (24.07.1968; 22.05.1981)
Почетный знак «За заслуги в развитии физической культуры и спорта» (1998)