Андрей Махнев родился 11 февраля 1997 года в городе Чусовой, Пермский край. Спортом занимался в Специализированной детско-юношеской спортивной школе олимпийского резерва по зимним видам спорта «Огонек» родного города. Первым тренером Андрея стал Зарецких Анатолий Петрович.

Первого большого успеха Махнев добился, став призером Первенства Мира 2015 года. Тогда же вошел в состав сборной команды России по фристайлу. В следующем сезоне дебютировал в основном составе сборной России по фристайлу.

В 2017 году Андрей выиграл Чемпионат России и добился стабильных результатов на международном уровне.

Махнев выполнил норматив мастера спорта России. Личным тренером спортсмена является Лазаренко Сергей Анатольевич. Выступает за Специализированную детско-юношескую спортивную школу олимпийского резерва по зимним видам спорта «Огонек» города Чусовой. Рост спортсмена 188 сантиметров, вес 87 килограммов.