Профессиональный футболист. Вратарь. Игрок футбольного клуба «Спартак». Вратарь молодёжной сборной России по футболу. Номинант национальной премии «Первая пятерка» 2018 года.

Александр Максименко родился 19 марта 1998 года в городе Ростов-на-Дону. Начинал заниматься футболом в возрасте 9 лет в ростовском «Локомотиве», затем перешёл в Академию футбола имени Виктора Понедельника. В 15 лет талантливый спортсмен получил приглашение на просмотр в московский «Спартак», который успешно прошёл. В составе команды «Спартака» 1998 года рождения стал чемпионом России.

За молодежный состав «Спартака» Александр Максименко дебютировал 2 августа 2015 года в домашнем матче против «Рубина». Всего, в период с 2015 по 2017 год сыграл за молодёжку 35 матчей, пропустил 29 мячей.

С 2015 года Максименко регулярно вызывался в юношескую сборную России. Принимал участие в чемпионате Европы по футболу для юношей до 17 лет. Александр отразил пенальти в четвертьфинале против Англии. В полуфинале немцам Россия уступила и стала бронзовым призёром. Участвовал на чемпионате мира по футболу для юношей до 17 лет, где вместе со сборной дошёл до 1/8 финала.

    В ноябре 2016 года в составе сборной Футбольной национальной лиги Максименко участвовал в товарищеском матче против молодёжной сборной Кипра.

Зимой 2016 года футболист переведён во вторую команду - «Спартак-2» и принимал участие в Кубке ФНЛ 2016. Дебютировал за «Спартак-2» в первенстве Футбольной национальной лиги 13 августа 2016 года в домашнем матче против «Тюмени».

Летние предсезонные сборы 2016 и 2017 годов Максименко проходил вместе с первой командой «Спартака» и принимал участие в товарищеских играх. В сентябре 2017 года попал в заявку «Спартака» на Лигу чемпионов 2017/18.

Впервые сыграл за основной состав «Спартака» 25 октября 2017 года в матче 1/8 финала Кубка России против клуба «Спартак-Нальчик». Дебют футболиста за основной состав в Российской Премьер-Лиге состоялся 28 июля 2018 года в матче 1 тура против «Оренбурга».

В 2017 года футболист вошёл в расширенный список молодёжной сборной России на отборочные матчи чемпионата Европы 2019. Дебютировал за молодёжную сборную 7 сентября 2018 года в товарищеской встрече против сборной Египта.

В 2018 году стал номинантом национальной премии «Первая пятерка», по итогам которой занял четвертое место.