Александр Мельников родился 3 ноября 1993 года в городе Ивантеевка, Московская область. Учился в Высшем театральном училище имени Щепкина. Также Александр стал вольным слушателем Ярославского государственного театрального института. Среди сценических работ Александра роли в таких постановках, как «Республика ШКИД» - Цыган, «На полпути» - Клиент, «Роман с контрабасом» - Иван Иваныч, «Мы ждем Годо» - Мальчик, «Только не стрелять» - Андрей и другие.

Начал сниматься в 2012 году: первой ролью стал эпизод в детской приключенческой картине «Частное пионерское», где Саша сыграл воришку. Затем Александра Мельникова пригласили в комедийный фильм «Пацаны» режиссера Рената Давлетьярова. Премьера картины - февраль 2015 года. В ней Мельников сыграл персонажа по кличке Кисель. В 2015 году состоялась премьера молодежного киносериала на канале ТНТ Игоря Хомского по сценарию Ильи Куликова «Закон каменных джунглей» с участием Аристарха Венеса, Данилы Вахрушева и др. В этом проекте Александр Мельников сыграл Гошу - самого младшего в компании. Экранный герой актера верит в своего лучшего друга Цыпу и слепо идет за парнями, чтобы не быть трусом. Ему не так важны деньги, сколько чувство, что он вместе со всеми.

Несмотря на популярность, пришедшую к Мельникову с выходом на экраны сериала «Закон каменных джунглей», актер, приняв участие в съемках второго сезона этого проекта, где его герой Гоша предстает возмужавшим и принимающим самостоятельные решения, отказался от работы в продолжении истории про «гангстеров во времена хипстеров». Как в третьем сезоне сериала, так и в одноименном фильме.

Не менее яркой стала для Мельникова и роль Сержа в спортивной драме от режиссера и сценариста Эдуарда Бордукова «Коробка», премьера которой прошла весной 2016. Тогда же Александрприступил к съемкам в фантастическом фильме, повествующем о найденной строителями, возводящими мост, необычной книге - при помощи нее можно переместиться в будущее. Сыграл актер и в сериале телеканала НТВ «Учитель в законе - 4», а также в «Бесстыдниках» - отечественной адаптации одноименного американского проекта.