Андрей Могучий родился 23 ноября 1961 года в городе Санкт-Петербург. В 1984 году окончил радиотехнический факультет Ленинградского института авиационного приборостроения, в 1989 - Ленинградский институт культуры, кафедра режиссуры и актёрского мастерства.
В 1990 основал независимую театральную группу «Формальный театр», где выпустил спектакли по «Лысой певице» Э. Ионеско, «Петербургу» Андрея Белого, «Двум сёстрам» И. Тургенева и «Неистовому Роланду» Л. Ариосто, а также спектакль «Школа для дураков» по роману Саши Соколова, получивший приз «Fringe» Эдинбургского фестиваля и Гран-при международного театрального фестиваля в Белграде.
Могучий ставил спектакли в Александринском театре, театре «Балтийский дом», Финской театральной академии, Театре Наций, театре «Приют комедианта», сотрудничал с Московским пасхальным фестивалем Валерия Гергиева, Работал в опере, был режиссёром балетного спектакля «Silenzio» Дианы Вишнёвой.
Весной 2013 года возглавил Большой драматический театр им. Г. А. Товстоногова. В Большом драматическом театре Могучий поставил спектакли «Пьяные» по пьесе Ивана Вырыпаева, «Что делать» по одноимённому роману Николая Чернышевского, «Алиса» с участием Алисы Фрейндлих и «Гроза» по пьесе Александра Островского.
В марте 2015 года обратился с открытом письмом в прокуратуру Новосибирской области в защиту свободы творчества и режиссёра Тимофея Кулябина, обвинённого в оскорблении чувств верующих. Спектакль Кулябина «Тангейзер» в Новосибирском оперном театре был исключён из репертуара, а прокуратура передала в суд иск к режиссёру и бывшему директору театра Борису Мездричу, уволенному на фоне скандала вокруг «Тангейзера».
В 2016 году Андрей Могучий стал мастером режиссёрского курса в Российском государственном институте сценических искусств. Так же получил специальный приз театральной премии «Прорыв» за продвижение молодых талантов и «Золотую Маску» в номинации «Драма: лучшая работа режиссёра» за спектакль «Пьяные» И. Вырыпаева, в Большом драматическом театре.
В октябре 2016 года выступил в поддержку Константина Райкина, призвавшего, со сцены съезда Союза театральных деятелей, к «цеховой солидарности» в театральном сообществе для противодействия негласно возвращающейся в российский театр цензуре. «Искусство должно быть свободно... от предрассудков, свободно от страха, от давления лжи, непросвещенного цинизма и хамства.
«Свобода и совесть - главные его инструменты и первостепенная задача государства. Эти свободы искусству предоставить и защищать суверенные границы искусства от всякого рода посягательств на его независимость», - написал Могучий в обращении, опубликованном в прессе.