Александр Надирадзе родился 2 сентября 1914 года в городе Гори, Грузия. В 1936 году, после окончания Закавказского индустриального института, переехал в Москву и поступил в Московский авиационный институт. Получил степень доктора технических наук.
С 1938 года Надирадзе работал в Центральном аэрогидродинамическом институте инженером, затем стал руководителем группы. С 1939 года вместе с Н. И. Ефремовым руководил работами по разработке самолетного шасси на воздушной подушке с гибким ограждением, по итогам которых построен и успешно испытан самолет УТ-2Н. Дальнейшим исследованиям помешала война.
В 1941 году Александр Давидович назначен главным конструктором по убирающимся шасси опытно-конструкторского бюро Московского завода № 22 имени С. П. Горбунова. В конце года приступил к исследованиям по ракетной технике. В 1945 году организовал и назначен главным конструктором и начальником опытно-конструкторского бюро при факультете реактивного вооружения Московского механического института Наркомата боеприпасов.
В 1948 году Постановлением Совета Министров СССР ОКБ Московского механического института передано в состав КБ-2 Минсельхозмаша. Надирадзе руководил подразделением, где велась разработка неуправляемых зенитных ракет и противотанковых реактивных снарядов. В 1951 году КБ-2 вошло в состав ГСНИИ-642 Министерства сельскохозяйственного машиностроения, где объединены несколько конструкторских бюро по разработке крылатых и пороховых ракет, радиоуправляемых и самонаводящихся авиабомб.
В конце 1957 года Московский ГСНИИ-642 объединен с Реутовским ОКБ-52 Челомея. По решению Правительства Министерство обороны СССР организовало конкурс на лучший проект мобильной межконтинентальной баллистической ракеты. В результате конкурс выиграл коллектив Александра Давидовича Надирадзе.
В 1958 году Александр Давидович перешел в Научно-исследовательский институт Московского института теплотехники, где приступил к созданию подвижных грунтовых ракетных комплексов с баллистическими ракетами на твердом топливе.
Указом Президиума Верховного Совета СССР («закрытым») от 9 сентября 1976 года Надирадзе Александру Давидовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот». В 1982 году получил вторую медаль Героя Труда.
Александр Надирадзе скончался 3 сентября 1987 года от сердечного приступа. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Дважды Герой Социалистического Труда
Четыре ордена Ленина
Орден Октябрьской Революции
Орден Трудового Красного Знамени
Лауреат Ленинской премии
Лауреат Государственной премии СССР
Заслуженный изобретатель РСФСР
Мемориальные доски в честь А. Д. Надирадзе установлены на главном корпусе Московского института теплотехники и учебном корпусе Московского авиационного института.
Федерацией космонавтики РФ и Московским институтом теплотехники в 1993 году учреждена медаль имени академика А. Д. Надирадзе.