Александр Рапопорт родился 1 апреля 1947 года в городе Казанлык, Болгария. Рос в семье Симы Михайловны и Григория Соломоновича. Отец Александра на момент рождения был офицером, а затем много раз менял профессии - от водолаза и токаря до актера и врача. Саше не было и месяца, когда семья покинула Болгарию и после череды переездов обосновалась в Ленинграде.

Рапопорт-младший с ранних лет видел себя на сцене, но родители не воспринимали такую профессию серьезно. По их настоянию он стал студентом медицинского института, куда вместе с сыном, между прочим, поступил и отец. Во время учебы Александр приобщился к институтскому ансамблю, а также участвовал в любительском театре и играл за медин в баскетбол. К профессии врача юноша никакого интереса не испытывал и почти каждый экзамен при первой попытке проваливал. Но когда на 4-ом курсе началась специализация по психиатрии, молодой человек преобразился и стал учиться усердно.

После вуза Александра Рапопорта распределили в районную больницу, но он добился перевода в знаменитую московскую клинику имени П. П. Кащенко. Карьера складывалась отлично, но вдруг в 1980 году его арестовывают за то, что он отказался признавать нездоровыми призывников, уклоняющихся от службы в армии. Осудили врача по политической статье на 4 года. После такого отношения мужчина покинул родину и пешком вместе с младшим сыном добирался в Барселону. Денег не было даже на самое необходимое, поэтому им приходилось зарабатывать по дороге, в том числе и пением на улицах.

В 1990 году Александр Рапопорт попал в США и первое время работал шофером такси. Затем смог вернуться к врачебной деятельности и даже снова сел за парту в Адельфайском университете, углубив знания по психиатрии. Сейчас он совмещает съемки в кино с психотерапевтической деятельностью. Кроме того, Александр Григорьевич ведет авторские тренинги о взаимоотношениях между людьми, чаще всего делая упор на помощи в сохранении романтических отношений.

Первая медийная деятельность Александра Рапопорта связана с телевидением. На американском канале он открыл авторскую передачу «Зеркало», в которой рассказывал о психологических проблемах. Гораздо позднее он был ведущим программы «За час до полуночи» в эфире радиостанции «Серебряный дождь», а на российском телевидении появлялся в таких шоу, как «Мужская территория», «К нам приехал!», «Люблю, не могу...», «Хочу Вашего мужа».

Также Александр стал «поющим доктором» и даже записал несколько студийных альбомов. Выходили и видеоклипы, например, в конце 90-х среди любителей русского шансона имела успех песня «Барселона», а немного позднее композиция Михаила Танича «Амадео Модильяни». 

Собственно, после выступлений в качестве музыканта Рапопорта и пригласили дебютировать в американском театре «Steps» в спектакле «Прошлым летом в Чулимске». Почувствовав вкус актерства, мужчина берет мастер-классы у таких звезд, как Аль Пачино, Мэрил Стрип и Майкл Кейн.

Играл Александр Рапопорт не только в американских театрах, но и в отечественных. К примеру, его приглашала лично Галина Волчек в свой театр «Современник», где он сыграл несколько интересных ролей.

В кино Александр Рапопорт начал сниматься в 2000 году, в картинах проживающих в Америке русскоязычных режиссеров. Но сам актер своим настоящим дебютом, ставшим отправной точкой к профессиональным киносъемкам, считает мелодраму «Моя Пречистенка», в которой он сыграл небольшую роль чекиста Кузнецова.

Туда его пригласили чуть ли не случайно: Александр был в картинной галерее в Москве, где его заметила Галина, супруга Георгия Данелия. Она сказала своей спутнице, которой оказалась кастинг-директор Людмила Великая, что такого мужчину просто нельзя не снимать в кино.

К тому моменту Александру Григорьевичу было уже за 50. Тем не менее, на сегодняшний день он успел поучаствовать в создании более ста кинокартин и телесериалов! Из наиболее известных проектов стоит выделить молодежный мистический сериал «Закрытая школа», мелодраму «Брак по завещанию», психологический детектив «Чтец» и фантастический фильм «Источник».