Виталий Щур родился 27 ноября 1987 года в городе Камень-на-Оби, Алтайский край. В секцию греко-римской борьбы его привёл отец, прежде занимавшийся самбо. В детских соревнованиях Виталий успехами не блистал. На взрослых соревнованиях стал показывать хорошие результаты. Позднее переехал в город Новоалтайск.
С 2014 года Щур входит в состав сборной команды России по греко-римской борьбе. Тогда же стал серебряным призером Международного турнира Гран-При имени Ивана Поддубного и бронзовым призером Чемпионата России.
На турнире Гран-При имени Ивана Поддубного в 2016 году завоевал серебряную медаль, стал обладателем Кубка европейских наций. В том же году Щур занял второе место на национальном Чемпионате. Ранее завоевал серебро на этапе Кубка Мира.
В 2017 году по итогам конкурса Виталий стал лучшим борцом Алтайского края.
На Международном турнире Гран-При памяти Ивана Поддубного, проходившем в городе Краснодар в январе 2018 года, борец выиграл серебряную медаль в весовой категории 130 килограммов. Выступал от Алтайского края.
Щур является мастером спорта по греко-римской борьбе. Рост спортсмена 195 сантиметров, вес 120 килограммов. Тренеруется под руководством Заслуженного тренера России Владимира Кутчера и Рустама Синдикова. Выступает за клуб «Локомотив» города Кемерово и Алтайский край.