Александр Смышляев родился 16 марта 1987 года в городе Чусовой Пермского края. Начал заниматься фристайлом в четвертом классе у Марины Юрьевны Столяровой. Затем перешел к Сергею Лазаренко. Окончил основную общеобразовательную школу №7 в 2005 году. С 2006 по 2008 года проходил военную службу. Затем, продолжив образование, в 2011 году окончил кафедру лыжного спорта в Чайковском государственном институте физической культуры.

В 2005 году вошел в состав сборной команды России по фристайлу. В следующем году Александр принял участие в зимних Олимпийских играх, проходивших в городе Ванкувер. Лучшим результатом стало 10 место в могуле. Позднее выступал на Олимпиадах 2010, 2014 и 2018 годов.

Впервые титул Чемпиона России в могуле завоевал в 2009 году. Подтверждал звание в 2010 и 2013 годах. Чемпионом России в парном могуле становился в 2010, 2011 и 2013 годах. Серебряный и бронзовый призер Чемпионатов России.

На XXII Олимпийских зимних играх , проходивших с 7 по 23 февраля 2014 года в городе Сочи Краснодарского края, Смышляев завоевал бронзовую медаль. В следующем году занял третье место на Чемпионате Мира в дисциплине фристайла могул. Ранее выше пятого места спортсмен не поднимался.

Смышляев тренируется под руководством Заслуженного тренера России Сергея Анатольевича Лазаренко. Выступает за Специализированную детско-юношескую спортивную школу Олимпийского резерва «Огонек» города Чусовой и Центра спортивной подготовки Пермского края. Входит в десятку лучших фристайлистов Мира в могуле.

За большой вклад в развитие физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения удостоен Почетного звания «Заслуженный мастер спорта России». Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.